7、可计算性理论中的不可判定性与重要定理

可计算性理论中的不可判定性与重要定理

在可计算性理论中，有许多重要的概念和定理，它们对于理解计算的边界和能力起着关键作用。本文将深入探讨其中的一些核心内容，包括可计算枚举集、停机问题、归约、完备集、s - m - n 定理、递归定理以及莱斯定理等。

1. 可计算枚举集相关概念

可计算枚举集（Computably Enumerable Sets，简称 c.e. 集）是可计算性理论中的一个重要概念。有如下重要结论：
- 推论 3.2 ：一个集合 S 是可计算枚举的，当且仅当 S 是某个部分可计算函数的定义域。
- 证明 ：部分可计算函数的定义域是图灵机可接受的，因此是可计算枚举的。反之，如果 S 是可计算枚举的，定义部分可计算函数 (f_S(x)) 为：若 (x \in S)，则 (f_S(x) = 0)；否则 (f_S(x)) 无定义。
- 定义 (W_e = dom(\varphi_e))，则 ({W_e}_{e \in N}) 为可计算枚举集提供了一个标准的有效枚举。

同时，还有一些相关的作业问题：
- 作业 3.4 ：证明一个无限集是可判定的，当且仅当它可以由一个一对一的全可计算函数按升序枚举。
- 作业 3.5 ：证明如果 A 和 B 是可计算枚举的，那么 (A \cup B) 和 (A \cap B) 也是可计算枚举的。
- 作业 3.6 ：证明每个无限可计算枚举集都包含一个无限可判定子集。

2. 停机问