2、数学基础概念：图、逻辑、集合与代数的综合解析

数学基础概念：图、逻辑、集合与代数的综合解析

1. 图论基础

图是由顶点集 (V) 和边集 (E) 组成的对 (G = (V, E))，其中 (V) 是有限非空集，边是不同顶点的无序对。若 ((u, v)) 是边，则 (u) 和 (v) 相邻。当每对不同顶点都有边相连时，图为完全图。

图 (G = (V, E)) 的子图 (G’ = (V’, E’)) 需满足 (V’ \subseteq V)，且 (E’) 中的边的顶点都在 (V’) 中。若 (E’) 包含所有顶点都在 (V’) 中的边，则 (G’) 是 (G) 的诱导子图。

路径是由边连接的顶点序列，路径长度是边的数量，单个顶点是长度为 0 的路径。简单路径除首尾顶点外不重复顶点和边，长度至少为 1 且首尾相同的简单路径是环，环的长度至少为 3。包含图中所有顶点的环是哈密顿回路。

图是连通的，当任意两个顶点间都有路径。顶点的度是该顶点的边的数量。有向图由顶点集和弧集组成，弧是有序对。有向图中的路径是顶点序列，满足相邻顶点间有弧相连。有向图强连通当任意顶点间都有路径。

树是无环的连通图。有向树的定义为：有唯一的根顶点，无弧进入；其他顶点有且仅有一条弧进入；从根到每个顶点都有路径。若 ((u, v)) 是树中的弧，(u) 是 (v) 的父节点，(v) 是 (u) 的子节点。有路径从 (u) 到 (v) 时，(u) 是 (v) 的祖先，(v) 是 (u) 的后代。无后代的顶点是叶子节点。顶点 (u) 及其所有后代组成子树，(u) 是子树的根。顶点 (u) 的深度是从根到 (u) 的路径长度，高度是从 (u) 到叶子节点的最长路径长度，树的高度是根的高度。当顶点的子节点有序时，是有序树。二叉树中