16、正交投影诱导的自由泊松元素探秘

正交投影诱导的自由泊松元素探秘

1. 生成算子的自由分布

在特定的空间中，对于所有 ( j \neq i \in \mathbb{Z} )，设 ( u_i = l \otimes u_i ) 是第 ( j ) 个过滤空间 ( LQ(j) ) 的第 ( i ) 个生成算子。这些生成算子 ( u_i ) 在 ( LQ(j) ) 中具有零自由分布。这是因为生成算子 ( u_i ) 具有自伴性，其自由分布完全由自由矩序列 ( \left( \tau_j(u_i^n) \right) {n = 1}^{\infty} = (0, 0, 0, 0, \cdots) ) 所刻画，该序列等同于零序列。同时，通过 Möbius 反演可知，对于所有 ( n \in \mathbb{N} ) 和 ( i \in \mathbb{Z} )，有 ( k_j^n (u_i, \cdots, u_i) = \delta {j,i} \delta_{n,2} )，其中 ( k_j^{\bullet}(\cdots) ) 是关于线性泛函 ( \tau_j ) 在 ( LQ ) 上的自由累积量。

2. 半圆元素的性质

2.1 生成算子的半圆特性

对于 ( j \in \mathbb{Z} )，第 ( j ) 个过滤空间 ( LQ(j) ) 的第 ( j ) 个生成算子 ( u_j ) 是 ( \psi(q_j)^2 ) - 半圆的，满足 ( \tau_j(u_j^n) = \omega_n \psi(q_j)^n c_{\frac{n}{2}} )，等价地，自由累积量 ( k_j^n (u_j, \cdots, u_j) ) 满足：
[
k_j^