传输线和负载电阻的反射系数、史密斯图及行驻波

1. 传输线及其特征阻抗

传输线： 用于定向传输电磁波的导线叫传输线。
均匀传输线：若传输线的导体材料、横截面形状与尺寸、相对位置及周围介质沿线都无变化，则称为均匀传输线。
理想均匀传输线：若均匀传输线为电导率无穷大的理想导体，周围介质为电导率为 0 的理想介质，则称为理想均匀传输线。
特征阻抗：传输线在引导电磁波时，所引导的电磁波的电场强度与磁场强度的比值，称为传输线的特征阻抗。特征阻抗的值为传输线单位长度的电感与单位长度的电容之比开根号。特征阻抗也为介质的磁导率与介电常数之比开根号，单位为欧姆。即：
$$\begin{array}{r}{Z}_0=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}=\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}\end{array}$$
其中，$Z_0$为传输线特征阻抗，$E$为传输线引导的电磁波的电场强度，单位为V/m, $H$为传输线引导的电磁波的磁场强度，单位为A/m，$L_0$为传输线单位长度的电感量，单位为H/m, $C_0$为传输线单位长度的电容，单位为F/m.

$\mu$为真空的磁导率，为$4\pi \ast 10^{-7}$H/m; $\epsilon$ 为真空的介电常数，为$\frac{1}{36\pi }\ast 10^{-9}$F/m. 因此，当电磁波在真空中传播时，真空的特征阻抗为$120\pi =387$欧姆

理想传输线的特征阻抗为正实数，实际的传输线由于导体有限的电导率和介质有限的电阻率，其特征阻抗为复数。

2. 传输线的反射系数、行波、驻波、驻波比

正弦信号在均匀传输线1上传输时，遇到负载 $Z_L$ 或进入另一个均匀传输线2后，若前后阻抗不匹配，会发生信号的反射和透射。

入射正弦波可表示为： ${\dot{U}}^{+}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}$，该电压波为行波，行波的特点为，随着时间的推进，波形向前进方向移动，波形在 前进方向上任一点的振幅相同。这里设 $z$ 轴为前进方向。

反射信号可表示为: ${\dot{U}}^{-}{\mathrm{e}}^{j\beta z}$，该波为行波，波形前进的方向为 $-z$ 轴方向。

电磁波在传播过程中，是时间与空间的函数. 在每一时刻，空间中的电磁场随位置的不同而不同；对于空间中的任一点，其电磁场随着时间的变化而变化.

行波：一种横波，在直角空间坐标系中，随着时间的推进，波形向 $z$ 方向移动；在 $z$ 轴上的任一点波形为在 $x$ 轴或 $y$轴 上随时间变化的正弦波。数学表达式为：$\dot{U}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}$，其中$\dot{U}=U{\mathrm{e}}^{\omega \mathrm{t}}$是时间的变量. 这里$-j\beta z$中的负号表示了波是向正 z 轴方向传播（读者可以想想为什么？欢迎提问）.因此表达式 $\dot{U}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}$ 能够刻画空间中向z轴正方向传播的电磁波行波的变化规律.

驻波：电磁波在非均匀传输介质中传播时会引起反射，反射波与入射波叠加后，形成的在传播方向上 $z$ 轴上的某些固定点振幅最大，某些固定点振幅最小，这种波被称为驻波。

反射系数：反射波与入射波幅度的比值，即S参数的$S11$,表示为：
$$\begin{array}{r}\Gamma =\frac{{\dot{U}}^{-}}{{\dot{U}}^{+}}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=S_{11}=|S_{11}|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varphi }\end{array}$$
其中，$Z_L$为负载阻抗，$Z_0$为传输线阻抗。

行波驻波的叠加：电磁波在传输过程中，遇到阻抗不一致时会发生反射，传输线中的信号为入射波与反射波的叠加:
${\dot{U}}^{+}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}+{\dot{\mathrm{U}}}^{-}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}$ 该波形为两个相反方向传播的行波的叠加，是行波与驻波的混合.
该表达式又可变化为：
$$\begin{array}{rl}\dot{U}& ={\dot{U}}^{+}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}+{\dot{\mathrm{U}}}^{-}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}\\ & ={\dot{U}}^{+}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}(1+|{\mathrm{S}}_{11}|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\beta \mathrm{z}+\varphi )})\end{array}$$
式中， ${\dot{U}}^{+}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\beta \mathrm{z}}$为向z轴传播的行波，系数$1+|S_{11}|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\beta \mathrm{z}+\varphi )}$为位置z的函数，不同的位置对应的行波的幅度不同. 某些位置的幅度大，某些位置的幅度小. 因此该波既有向前行走的特点，又有停驻的特点，是行波与驻波的混合.

驻波比：传输线上的电压和电流波为入射的行波与反射的行波的叠加，包含被反射波抵消掉形成的驻波和入射行波的残余行波，在传输方向上某些区域形成最高电压峰值$U_{max}$和最低电压峰值$U_{min}$,驻波比为最高电压峰值与最低电压峰值之比：
$$\begin{array}{rl}\mathrm{VSWR}& =\frac{U_{max}}{U_{min}}\\ & =\frac{1+|S_{11}|}{1-|S_{11}|}\end{array}$$

3. S参数史密斯图

S参数为散射参数，描述一个双端口系统的输入输出特性。S11为反射系数，也就是输入回波损耗；S21为正向传输参数，即增益；S12为反向传输参数，即隔离；S22为输出反射系数，即输出回波损耗。
$$\begin{array}{r}S=\left(\begin{array}{cc}S11& S12\\ S21& S22\end{array}\right)\end{array}$$