GESP6级集训课第1讲
一、线性数据结构
1. 栈
1.1 概念
栈：只能在某一端插入和删除的线性数据结构（和羽毛球筒一样）
栈顶：进行删除和插入的一端
栈底：不进行删除和插入的一端
进栈：放入元素
出栈：取出元素
满栈：栈的元素填满整个栈
空栈：栈中无元素
栈的特点：先进后出，后进先出（FILO）
下溢：空栈时出栈
上溢：满栈时进栈
1.2 程序
1.2.1 STL
头文件：
#include<stack>
定义格式：
stack<数据类型>栈名;
基本操作：
| 方法 | 功能 |
|---|---|
.push(x) | x x x 进栈 |
.pop() | 出栈 |
.top() | 栈顶元素 |
.empty() | 判空 |
.size() | 元素个数 |
1.2.2 数组模拟
定义格式：
const int N=100;//栈的大小
int top=0;//栈顶指针
数据类型 s[N+1];
基本操作：
| 方法 | 功能 |
|---|---|
s[++top]=x | x x x 进栈 |
top-- | 出栈 |
s[top] | 栈顶元素 |
1.2.3 链式栈
概念：
链栈（链式栈）是一种基于链式存储结构（单链表）实现的栈。与顺序栈不同，链式栈的栈顶指针指向链表的头部。由于栈的操作仅限于栈顶，因此栈顶放在单链表的头部。在链栈中，栈顶元素的插入和删除操作都在链表的头部进行。
基本操作：
- 初始化栈：创建一个空链式栈，栈顶指针指向空
- 进栈：在链表头部插入新结点
- 出栈：删除链表头部结点
- 栈顶元素：返回链表头部的结点数据
- 判空：判断栈顶指针是否为空
1.3 应用
1.3.1 括号配对
具体方法：
- 遍历表达式中每个字符，遇到左括号时入栈
- 遇到右括号时与栈顶元素匹配并出栈
- 若匹配成功则继续，若不匹配或栈空则表示括号不匹配
- 遍历结束后，若栈为空则括号匹配正确，否则错误
1.3.2 进制转换
具体方法：
- 将十进制数除以要转的进制，得到商和余数
- 将余数进栈
- 重复前两步直到商为 0 0 0
- 依次出栈，得到的序列为最终表示结果
利用原理：因为最终时倒取余，可以用栈的后进先出特性来解决
1.3.3 前缀表达式求值
具体方法：
- 从右到左扫描
- 遇数进栈
- 遇号将栈顶两个元素计算，运算结果放入栈顶（栈顶元素 操作符 第二个元素）
1.3.4 后缀表达式求值
具体方法：
- 从左到右扫描
- 遇数进栈
- 遇号将栈顶两个元素计算，运算结果放入栈顶（第二个元素 操作符 栈顶元素）
2. 队列
2.1 概念
队列：先进先出的先行数据结构，允许在一段插入，另一端删除（和排队一样）
队头：离开队列的一端
队尾：进入队列的一端
上溢：队列满继续入队
假上溢：队列存在可用位置时发生的上溢
2.2 程序
2.2.1 STL
头文件：
#include<queue>
定义格式：
queue<数据结构>队列名;
基本操作：
| 方法 | 功能 |
|---|---|
.push(x) | x x x 入队 |
.pop() | 出队 |
.front() | 队头元素 |
.back() | 队尾元素 |
.empty() | 判空 |
.size() | 元素个数 |
2.2.2 数组模拟
定义格式：
const int N=100;//队列的大小
int head=0,tail=0;//队头队尾指针，tail指向哨兵位置
数据类型 q[N+1];
基本操作：
| 方法 | 功能 |
|---|---|
s[tail++]=x | x x x 入队 |
head++ | 出队 |
tail-head | 元素个数 |
tail==head | 判空 |
2.3 应用
2.3.1 循环队列
概念：能够循环利用数组空间的队列
基本操作：
| 方法 | 功能 |
|---|---|
q[tail]=x,tail=(tail+1)%N | x x x 入队 |
head=(head+1)%N | 出队 |
(tail-head+N)%N | 元素个数 |
tail==head | 判空 |
(tail+1)%N==head | 判满 |
二、树形数据结构
1. 树的概念
树：一种抽象的非线性数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合
树的特点：由
n
n
n（
n
≥
0
n\ge0
n≥0）个结点组成的具有分支和层次特性的数据集合。
直接前驱：父结点
直接后继：子结点
根结点：没有直接前驱，只有直接后继的结点
叶结点：度为
0
0
0 的结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点
层次：从根开始，根为第
1
1
1 层，根的子结点为第
2
2
2 层，以此类推
深度：根结点深度为
0
0
0 或
1
1
1，根的子结点为父结点的深度
+
1
+1
+1
子树：以树中某一个结点为根，该结点和其所有后代结点构成的一棵树
森林：
m
m
m（
m
≥
0
m\ge0
m≥0）棵互不相交的树的集合
结点的度：拥有的子树个数
树的度：一棵树中所有结点的度的最大值为树的度
树是一种特殊类型的无环连通图，任何两个顶点之间都有一条唯一的简单路径。
结点的权：人为赋予的一个数，通常代表结点的重要性
结点的带权路径长度：从根结点到该结点的路径长度与该结点权重的乘积
数的带权路径长度：树中所有叶结点的带权路径长度之和（WPL，Weighted Path Length）
2. 树的性质
- 树中的结点数等于所有结点的度之和
+
1
+1
+1，即
n = 1 + 1 × n 1 + 2 × n 2 + ⋯ n=1+1\times n_1+2\times n_2+\cdots n=1+1×n1+2×n2+⋯ - 树中的结点数等于所有结点个数总和，即
n = n 0 + n 1 + n 2 + ⋯ n=n_0+n_1+n_2+\cdots n=n0+n1+n2+⋯ - n n n 个结点的树中有 n − 1 n-1 n−1 条边
3. 二叉树
3.1 概念
二叉树（binary tree，BT）是一种特殊的树形结构，二叉树的每个结点最多有两个子结点，每个结点的子结点分别成为左孩子、右孩子，它的两棵子树分别成为左子树、右子树。
3.2 形态
- 空二叉树
- 只有根结点
- 只有左子树
- 左右子树都有
- 只有右子树
3.3 性质
- 非空二叉树的叶结点数等于度为
2
2
2 的结点数
+
1
+1
+1，即
n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1 - 非空二叉树第 k k k 层上至多有 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1 个结点（ k ≥ 1 k\ge1 k≥1）
- 高度为 h h h 的二叉树之多有 2 h − 1 2^h-1 2h−1 个结点（ h ≥ 1 h\ge1 h≥1）
3.4 特殊二叉树
3.4.1 满二叉树
满二叉树：一棵高度为 h h h 且有 2 h − 1 2^h-1 2h−1 个结点的二叉树。
约定根结点编号为 1 1 1，自上而下，自左向右编号。对于编号为 i i i 的结点，若有父结点则其父结点编号为 i 2 \frac{i}{2} 2i，若有左孩子则左孩子为 2 i 2i 2i，若有右孩子则右孩子为 2 i + 1 2i+1 2i+1。可以使用数组来存储一颗满二叉树。即
3.4.2 完全二叉树
完全二叉树：一棵高度为 h h h、有 n n n 个结点，且所有结点都与相同高度的满二叉树编号对应时的二叉树。所以也可以使用数组来存储一颗完全二叉树。
特点：
- 叶结点只可能在层次最大的两层上出现，对于最大层次中的叶结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
- 若有度为 1 1 1 的结点，则只可能有一个，且该结点只有左孩子，没有右孩子
性质：
- 按层编号后，一旦出现某结点（编号为 i i i）为叶结点或只有左孩子时，则编号大于 i i i 的结点均为叶结点
- 若 n n n 为奇数则没有度为 1 1 1 的结点，叶结点数量等于 ⌈ n 2 ⌉ \lceil \frac{n}{2} \rceil ⌈2n⌉；若 n n n 为偶数则编号为 n 2 \frac{n}{2} 2n 的结点只有左孩子没有右孩子，叶结点数量等于 n 2 \frac{n}{2} 2n
4. 哈夫曼树
4.1 定义
在含有
n
n
n 个带权叶结点的二叉树中，WPL 最小的二叉树被成为哈夫曼树，也称最优二叉树。
4.2 构造
算法原理：贪心算法
初始状态：对于给定的
n
n
n 个权值，每个权值作为一个独立的结点，形成
n
n
n 个单结点树。
构造过程：
- 从当前的森林中选取两个根结点权值最小的树（或结点）。
- 将这两个树合并为一棵新的二叉树，新树的根结点的权值为两个子树根权值之和。
- 将新树放回森林中，同时删除原来两个独立的树。
- 重复上述步骤，直到森林中只剩下一棵树为止。
最终结果：剩下的那棵树就是哈夫曼树，其叶结点所代表的权值对应着原始输入的各个权重，并且树的带权路径长度达到最小。
4.3 性质
- 每个初始结点都会成为哈夫曼树的叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大；
- 哈夫曼树的总结点数为 2 n − 1 2n-1 2n−1
- 哈夫曼树中不存在度为 1 1 1 的结点
- 哈夫曼树不唯一，但
WPL必然相同且最小
4.4 哈夫曼编码
4.4.1 性质
- 哈夫曼编码是一种无损编码
- 哈夫曼编码是变长码
- 哈夫曼编码基于频率排序实现
- 哈夫曼编码是最优前缀码
- 哈夫曼编码不是唯一码
4.4.2 原理
让出现频率高的信息编码长度短，让出现频率低的信息编码长度长，从而达到哈夫曼编码整体最短。因此哈夫曼编码使用的是贪心算法的思想。
4.4.3 方法
- 统计待编码的字符出现的频率，并排列。
- 反复取出两个频率最低的节点，将它们合并为一个新节点，频率为两个节点频率之和，将新节点重新排列。
- 重复步骤，直到只剩下一个节点，即构建完成的哈夫曼树。
- 通过遍历哈夫曼树，从根节点到每个叶子节点的路径上的左子树赋值为 0 0 0，右子树赋值为 1 1 1，得到每个字符的哈夫曼编码。
- 使用哈夫曼编码将原始数据进行编码和解码。
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