GESP6级集训课第1讲

最新推荐文章于 2025-07-29 21:31:10 发布

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文章标签： c++ 算法数据结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/joe_g12345/article/details/146292676

一、线性数据结构

1. 栈

1.1 概念

栈：只能在某一端插入和删除的线性数据结构（和羽毛球筒一样）
栈顶：进行删除和插入的一端
栈底：不进行删除和插入的一端
进栈：放入元素
出栈：取出元素
满栈：栈的元素填满整个栈
空栈：栈中无元素
栈的特点：先进后出，后进先出（FILO）
下溢：空栈时出栈
上溢：满栈时进栈

1.2 程序

1.2.1 STL

头文件：

#include<stack>

定义格式：

stack<数据类型>栈名;

基本操作：

方法	功能
`.push(x)`	$x$ 进栈
`.pop()`	出栈
`.top()`	栈顶元素
`.empty()`	判空
`.size()`	元素个数

1.2.2 数组模拟

定义格式：

const int N=100;//栈的大小
int top=0;//栈顶指针
数据类型 s[N+1];

基本操作：

方法	功能
`s[++top]=x`	$x$ 进栈
`top--`	出栈
`s[top]`	栈顶元素

1.2.3 链式栈

概念：
链栈（链式栈）是一种基于链式存储结构（单链表）实现的栈。与顺序栈不同，链式栈的栈顶指针指向链表的头部。由于栈的操作仅限于栈顶，因此栈顶放在单链表的头部。在链栈中，栈顶元素的插入和删除操作都在链表的头部进行。

基本操作：

初始化栈：创建一个空链式栈，栈顶指针指向空
进栈：在链表头部插入新结点
出栈：删除链表头部结点
栈顶元素：返回链表头部的结点数据
判空：判断栈顶指针是否为空

1.3 应用

1.3.1 括号配对

具体方法：

遍历表达式中每个字符，遇到左括号时入栈
遇到右括号时与栈顶元素匹配并出栈
若匹配成功则继续，若不匹配或栈空则表示括号不匹配
遍历结束后，若栈为空则括号匹配正确，否则错误

1.3.2 进制转换

具体方法：

将十进制数除以要转的进制，得到商和余数
将余数进栈
重复前两步直到商为 $0$
依次出栈，得到的序列为最终表示结果

利用原理：因为最终时倒取余，可以用栈的后进先出特性来解决

1.3.3 前缀表达式求值

具体方法：

从右到左扫描
遇数进栈
遇号将栈顶两个元素计算，运算结果放入栈顶（栈顶元素操作符第二个元素）

1.3.4 后缀表达式求值

具体方法：

从左到右扫描
遇数进栈
遇号将栈顶两个元素计算，运算结果放入栈顶（第二个元素操作符栈顶元素）

2. 队列

2.1 概念

队列：先进先出的先行数据结构，允许在一段插入，另一端删除（和排队一样）
队头：离开队列的一端
队尾：进入队列的一端
上溢：队列满继续入队
假上溢：队列存在可用位置时发生的上溢

2.2 程序

2.2.1 STL

头文件：

#include<queue>

定义格式：

queue<数据结构>队列名;

基本操作：

方法	功能
`.push(x)`	$x$ 入队
`.pop()`	出队
`.front()`	队头元素
`.back()`	队尾元素
`.empty()`	判空
`.size()`	元素个数

2.2.2 数组模拟

定义格式：

const int N=100;//队列的大小
int head=0,tail=0;//队头队尾指针，tail指向哨兵位置
数据类型 q[N+1];

基本操作：

方法	功能
`s[tail++]=x`	$x$ 入队
`head++`	出队
`tail-head`	元素个数
`tail==head`	判空

2.3 应用

2.3.1 循环队列

概念：能够循环利用数组空间的队列
基本操作：

方法	功能
`q[tail]=x,tail=(tail+1)%N`	$x$ 入队
`head=(head+1)%N`	出队
`(tail-head+N)%N`	元素个数
`tail==head`	判空
`(tail+1)%N==head`	判满

二、树形数据结构

1. 树的概念

树：一种抽象的非线性数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合
树的特点：由 $n$ （ $n\ge0$ ）个结点组成的具有分支和层次特性的数据集合。

直接前驱：父结点
直接后继：子结点
根结点：没有直接前驱，只有直接后继的结点
叶结点：度为 $0$ 的结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点

层次：从根开始，根为第 $1$ 层，根的子结点为第 $2$ 层，以此类推
深度：根结点深度为 $0$ 或 $1$ ，根的子结点为父结点的深度 $+ 1$
子树：以树中某一个结点为根，该结点和其所有后代结点构成的一棵树
森林： $m$ （ $m\ge0$ ）棵互不相交的树的集合

结点的度：拥有的子树个数
树的度：一棵树中所有结点的度的最大值为树的度

树是一种特殊类型的无环连通图，任何两个顶点之间都有一条唯一的简单路径。

结点的权：人为赋予的一个数，通常代表结点的重要性
结点的带权路径长度：从根结点到该结点的路径长度与该结点权重的乘积
数的带权路径长度：树中所有叶结点的带权路径长度之和（WPL，Weighted Path Length）

2. 树的性质

树中的结点数等于所有结点的度之和 $+ 1$ ，即
$n=1+1\times n_1+2\times n_2+\cdots$
树中的结点数等于所有结点个数总和，即
$n=n_0+n_1+n_2+\cdots$
$n$ 个结点的树中有 $n - 1$ 条边

3. 二叉树

3.1 概念

二叉树（binary tree，BT）是一种特殊的树形结构，二叉树的每个结点最多有两个子结点，每个结点的子结点分别成为左孩子、右孩子，它的两棵子树分别成为左子树、右子树。

3.2 形态

空二叉树
只有根结点
只有左子树
左右子树都有
只有右子树

3.3 性质

非空二叉树的叶结点数等于度为 $2$ 的结点数 $+ 1$ ，即
$n_0=n_2+1$
非空二叉树第 $k$ 层上至多有 $2^{k-1}$ 个结点（ $k\ge1$ ）
高度为 $h$ 的二叉树之多有 $2^h-1$ 个结点（ $h\ge1$ ）

3.4 特殊二叉树

3.4.1 满二叉树

满二叉树：一棵高度为 $h$ 且有 $2^h-1$ 个结点的二叉树。

约定根结点编号为 $1$ ，自上而下，自左向右编号。对于编号为 $i$ 的结点，若有父结点则其父结点编号为 $\frac{i}{2}$ ，若有左孩子则左孩子为 $2 i$ ，若有右孩子则右孩子为 $2 i + 1$ 。可以使用数组来存储一颗满二叉树。即

3.4.2 完全二叉树

完全二叉树：一棵高度为 $h$ 、有 $n$ 个结点，且所有结点都与相同高度的满二叉树编号对应时的二叉树。所以也可以使用数组来存储一颗完全二叉树。

特点：

叶结点只可能在层次最大的两层上出现，对于最大层次中的叶结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
若有度为 $1$ 的结点，则只可能有一个，且该结点只有左孩子，没有右孩子

性质：

按层编号后，一旦出现某结点（编号为 $i$ ）为叶结点或只有左孩子时，则编号大于 $i$ 的结点均为叶结点
若 $n$ 为奇数则没有度为 $1$ 的结点，叶结点数量等于 $\lceil \frac{n}{2} \rceil$ ；若 $n$ 为偶数则编号为 $\frac{n}{2}$ 的结点只有左孩子没有右孩子，叶结点数量等于 $\frac{n}{2}$