2025CSP-J 冲刺训练(1)：二分

一、二分查找函数

1. 头文件

二分查找函数所在的头文件是算法头文件：

#include<algorithm>

2. 前提条件

传入的参数数组 a[] 必须是一个有序的数组，且一定是从小到大排列的。

3. 功能函数

3.1 lower_bound

lower_bound(a+1,a+n+1,val)-a;

程序	意义
a+1	起始位置指针
a+n+1	哨兵位置指针
lower_bound()	返回了一个指针
整体	返回 a[] 中第一个值 $\ge \mathtt{val}$ 的元素下标

3.2 upper_bound

功能：返回 a[] 中第一个值 $>\mathtt{val}$ 的元素下标。

二、二分答案模板

1. 前提条件

1. 题目要求直接求答案，且只能用枚举、暴力或者恶心的方法求解
2. 检查一个答案很简单，且答案和限制条件是单调的

2. 模板

//最小值
while(l<r){
    //l+r可能溢出
    int mid=l+(r-l>>1);//mid=(l+r)/2
    if(check(mid))r=mid;
    else l=mid+1;
}
cout<<l;

//最大值
while(l<r){
    int mid=l+(r-l+1>>1);//mid=(l+r+1)/2
    if(check(mid))l=mid;
    else r=mid-1;
}
cout<<l;

三、典型例题

1. 寻找固定的和

1.1 审题

给出两个数组 x[]、y[] 和一个整数 $k$，每次从两个数组中各自取出一个数 $x_i$ 和 $y_j$，要求满足 $x_i+y_j=k$。已经取出过的数不能再取，问最多可以取出几对数？

1.2 分析

根据特性可知，$[$a[lower_bound(a+1,a+n+1,val)-a]$,$a[upper_bound(a+1,a+n+1,val)-a]$)$ 的范围中所有的数字都是 $\mathtt{val}$。则可以使用 a[upper_bound(a+1,a+n+1,val)-a]$-$a[lower_bound(a+1,a+n+1,val)-a] 来计算 $\mathtt{val}$ 有多少个。

1.3 参考答案

$60$ 分代码（未考虑 x[]、y[] 的重复）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+8;
int n,k,x[MAXN],y[MAXN];
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>y[i];
    //二分函数要保证序列有序，所以要先排序
    sort(x+1,x+n+1);
    sort(y+1,y+n+1);
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//遍历一遍x[]中所有的元素
        ans+=upper_bound(y+1,y+n+1,k-x[i])-lower_bound(y+1,y+n+1,k-x[i]);//获取y[]中所有和x[i]相加为k的元素
    cout<<ans;
    return 0;
}

$100$ 分代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+8;
int n,k,x[MAXN],y[MAXN];
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>x[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>y[i];
    sort(x+1,x+n+1);
    sort(y+1,y+n+1);
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(x[i]!=x[i-1])//x第一次出现
            ans+=min(upper_bound(y+1,y+n+1,k-x[i])-
                     lower_bound(y+1,y+n+1,k-x[i]),
                     upper_bound(x+1,x+n+1,x[i])-
                     lower_bound(x+1,x+n+1,x[i]));
    cout<<ans;
    return 0;
}

if 的判断可以有效地筛去 x[] 中重复的数值。
min 函数的第一个参数表示 y[] 中所有的 k-x[i]。
min 函数的第二个参数表示 x[] 中所有的 x[i]。
因为每个数字不能重复取出，所以取一个最小值。
如果实在看不懂，可以看看这个样例： k = 22 , x i = 10 , y = { 12 , 12 , 12 , 12 , 12 } k=22,x_i=10,y=\{12, 12, 12, 12, 12\} k=22,xi​=10,y={12,12,12,12,12}很显然，按照 $60$ 分的代码，我们算作了 $5$ 对，这样 $10$ 就会被重复取出。所以取它们重复个数的最小值算作最大的对数。

2. Snuke Festival

2.1 审题

今年音乐节，CCF（别问我为什么是 CCF）开始准备舞台。 舞台由上中下 $3$ 部分组成。舞台 $3$ 个部分的零件分别有 $N$ 个，编号为 $1\sim N$。第 $i$ 个上部、中部、下部零件的尺寸分别为 $A_i,B_i,C_i$。为了组成一个舞台，中部零件的尺寸必须比上部零件尺寸大，下部零件的尺寸必须比中部零件尺寸大。CCF 能够组成多少个不同的舞台? 相同的舞台是指上中下部编号对应相等的舞台。

2.2 分析

说人话，这道题目就是：
给定三个长度为 $n$ 的数组 $A,B,C$，找出所有满足 $A_i<B_j<C_k$ 的数字，且三个数字之前都未被使用。

2.3 参考答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+8;
int n,a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    sort(b+1,b+n+1);
    sort(c+1,c+n+1);
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){//遍历所有的b[i]
        int cnta=lower_bound(a+1,a+n+1,b[i])-(a+1);
        int cntc=(c+n+1)-upper_bound(c+1,c+n+1,b[i]);
        ans+=1ll*cnta*cntc;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

四、拓展例题

1. 晒衣服

1.1 审题

一件衣服在自然条件下用一秒的时间可以晒干 $a$ 点湿度。抠门的熊大妈只买了一台烘衣机 。使用用一秒烘衣机可以让一件衣服额外烘干 $b$ 点湿度（一秒晒干 $a+b$ 湿度），但在同一时间内只能烘一件衣服。现在有 $n$ 件衣服，第 $i$ 衣服的湿度为 $w_i$（保证互不相同），要你求出弄干所有衣服的最少时间（湿度为 $0$ 为干 ）。

1.2 分析

详见注释。

1.3 参考答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5e5+8;
int n,a,b,w[MAXN];
bool check(int ans){
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int done=ans*a;//计算使用烘干机后的湿度
        int rem=w[i]-done;//计算剩余湿度
        if(rem>0)cnt+=(rem+b-1)/b;//计算需要额外烘干的次数
    }
    return cnt<=ans;
}
int main(){
    cin>>n>>a>>b;
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i],r=max(r,(w[i]-1)/a+1);//r:计算最大烘干次数
    while(l<r){
        int mid=l+(r-l>>1);
        if(check(mid))r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<l;
    return 0;
}

2. Chocolate Eating S

2.1 审题

Bessie 收到了来自公牛们的 $N$（$1\le N\le 50,000$）块巧克力，但她不想吃得太快，所以她想要为接下来的 $D$（$1\le D\le 50,000$）天制定一个吃巧克力的计划，以最大化她在这段时间内的最小幸福值。
Bessie 的幸福值是一个整数，初始为 $0$ ，每天晚上睡觉时会减半（如果需要，向下取整）。然而，当她吃第 $i$ 块巧克力时，她的幸福值会增加整数 $H_i$（$1\le H_i\le 1,000,000$）。如果她在某一天吃巧克力，她这一天的幸福值被认为是吃完巧克力后的幸福值。Bessie 坚持要按照她收到巧克力的顺序来吃。
如果存在多个最优解，输出其中任意一个即可。
考虑一个例子，Bessie 需要在 $5$ 天内吃 $5$ 块巧克力，它们分别带来的幸福值为（$10$，$40$，$13$，$22$，$7$）。
如果 Bessie 在第一天吃第一块巧克力（幸福值 $10$），然后等待吃其他的巧克力，她在第一天的幸福值是 $10$。
最小的睡前幸福值是 $24$，这是 Bessie 能做到的最优结果。

2.2 参考答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=5e4+8;
int n,d,h[MAXN],t[MAXN];
bool check(ll ans, bool record){
    ll id=0,sum=0;
    for(int i=1;i<=d;i++,sum>>=1)
        while(sum<ans){
            if(id>n)return false;
            sum+=h[id];
            if(record)t[id]=i;
            id++;
        }
    return true;
}
int main(){
    cin>>n>>d;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>h[i];
    ll l=0,r=5e10;
    while(l<r){
        ll mid=l+(r-l+1>>1);
        if(check(mid,false))l=mid;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<l<<endl;
    check(l,true);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<(t[i]?t[i]:d)<<endl;
    return 0;
}