信奥赛基础：时间复杂度、初等数论

一、分析方法

• 识别计算机基础操作：赋值、比较、加减乘除
• 估算基本操作在程序中执行的次数（与数据规模 $n$ 相关）
• 使用大 $O$ 法最简表示：
  • 用于描述算法的最坏复杂度（输入数据最坏的情况）
  • 对于同一变量 $n$，保留影响最大的项
  • 适当省略系数

二、复杂度排序

1. 排序

当数据规模 $n\ge 1000$ 时，下面是运行时间从小到大的排序：

排序	表示	运行次数（估）
1.	$O(1)$	$/$
2.	$O(\log n)$	$10$
3.	$O(\sqrt{n})$	$31$
4.	$O(n)$	$1000$
5.	$O(n\log n)$	$10^4$
6.	$O(n^2)$	$10^6$
7.	$O(2^n)$	$10^{31}$
8.	$O(n!)$	$4\times 10^{2567}$

2. 注意事项

1. 在数学中，$n^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{n}$。如，$n^{\frac{1}{2}}=\sqrt{n}$。

三、初等数论

1. 数

1.1 列举因数

时间复杂度：$O(\sqrt{n})$

for(int i=1;i*i<=n;i++)
	if(n%i==0){
		if(i*i==n)factors.push_back(i);
		else{
		    factors.push_back(i);
		    factors.push_back(n/i);
		}
	}

1.2 判断质数

时间复杂度：$O(\sqrt{n})$

bool isPrime(int n){
	if(n<2)return false;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0)
			return false;
	return true;
}

1.3 埃筛

时间复杂度：$O(n\log \log n)$

1. 每次外层循环都把 $i$ 的倍数筛掉
2. 循环内只枚举质数的倍数，$i$ 的倍数 $j$ 的枚举下限 $j=i^2$，打上合数标记
3. 每次 $j$ += $i$

vector<int>f(int n){
	vector<int>primes;//质数数组
	vector<bool>isPrime(n+1,true);//默认都是质数
	isPrime[0]=isPrime[1]=false;//0和1不是质数
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
		if(isPrime[i])//是质数
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
				isPrime[j]=false;//标为合数
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(isPrime[i])
			primes.push_back(i);
	return primes;
}

1.4 线性筛

时间复杂度：$O(n)$

1. 每次外层循环筛掉素数表中部分素数的 $i$ 倍
2. 循环内判断 $i$ 是不是质数，是则加入质数表
3. 枚举素数表中素数 prime[j]，筛掉 i*prime[j]
4. 筛完后若发现 $i$ 是 prime[j] 的倍数，退出内层循环

vector<int>f(int n){
	vector<int>primes;
	vector<bool>isPrime(n+1,true);
	isPrime[0]=isPrime[1]=false;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(isPrime[i])primes.push_back(i);
		for(int j=0;j<primes.size()&&primes[j]*i<=n;j++){
			isPrime[primes[j]*i]=false;
			if(i%primes[j]==0)break;
		}
	}
	return primes;
}

1.5 分解质因数

时间复杂度：$O(\sqrt{n}\log n)$
本质是重复以下过程：

1. 找到 $n$ 的最小值因数 $i$
2. 把 $n$ 内含有的 $i$ 都除净
3. 此时 $n$（$n\ne 1$）的最小质因数 $>i$

vector<int>primeFac(int n){
    vector<int>factors;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    	while(n%i==0){
    		factors.push_back(i);
    		n/=i;
    	}
    if(n!=1)factors.push_back(n);
    return factors;
}

2. 辗转相除法（欧几里得算法）

时间复杂度：$O(\log n)$

//循环写法
while(b){
    int r=a%b;
    a=b;
    b=r;
}
//递归写法
return (b==0)?a:gcd(b,a%b);

3. 理论

唯一分解定理：每个合数都可以唯一分解为一系列质数的乘积。

因子数量公式：若 $a=p_1^{x_1}{p}_2^{x_2}\cdots p_n^{x_n}$ 则 $a$ 有因子 $(x1+1)(x2+1)\cdots (x_n+1)$。

若干个数最小公倍数是每个质因子出现的最高次幂的乘积。