本文详细介绍了正交矩阵的概念及其性质，包括正交向量组、标准正交向量组与正交矩阵的关系。讨论了正交矩阵在保持向量内积不变性方面的应用，并阐述了Gram-Schmidt正交化过程，用于将列满秩矩阵转化为标准正交向量组。最后，解释了矩阵的正交分解A=QR及其在求解线性系统的应用。
首先是正交向量组, 正交向量组是一组向量，任取两个向量都正交.
标准正交向量组则是一个正交向量组, 不过所有向量都是单位向量, 长度为111.
设q1,q2,...,qnq_1, q_2, ... , q_nq1,q2,...,qn两两正交, m∗nm*nm∗n维矩阵QQQ的各列分别是q1,q2,...,qnq_1, q_2, ... , q_nq1,q2,...,qn.
那么QTQQ^TQQTQ是对角矩阵, 对角线上的元素分别为∣∣q1∣∣2,∣∣q2∣∣2,...,∣∣qn∣∣2||q_1||^2, ||q_2||^2, ... ,||q_n||^2∣∣q1∣∣2,∣∣q2∣∣2,...,∣∣qn∣∣2. 因为2个正交向量的内积为零.
特别地, 如果q1,q2,...,qnq_1, q_2, ... , q_nq1,q2,...,qn构成一个标准正交向量组, 那么QTQ=IQ^TQ=IQTQ=I.
对于这样的矩阵QQQ, ∣∣Qx∣∣=∣∣x∣∣||Qx||=||x||∣∣Qx∣∣=∣∣x∣∣, 因为(Qx)T(Qx)=xTQTQx=xTx(Qx)^T(Qx)=x^TQ^TQx=x^Tx(Qx)T(Qx)=xTQTQx=xTx, 也就是说, 向量左乘QQQ不会对向量内积的大小做出改变.
更特别地, 如果q1,q2,...,qnq_1, q_2, ... , q_nq1,q2,...,qn构成一个标准正交向量组, 且q1,q2,...,qnq_1, q_2, ... , q_nq1,q2,...,qn是nnn维向量, 也就是说QQQ是nnn维方阵, 那么QT=Q−1Q^T=Q^{-1}Q
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