本文详细介绍了正交矩阵的概念及其性质，包括正交向量组、标准正交向量组与正交矩阵的关系。讨论了正交矩阵在保持向量内积不变性方面的应用，并阐述了Gram-Schmidt正交化过程，用于将列满秩矩阵转化为标准正交向量组。最后，解释了矩阵的正交分解A=QR及其在求解线性系统的应用。
首先是正交向量组, 正交向量组是一组向量，任取两个向量都正交.
标准正交向量组则是一个正交向量组, 不过所有向量都是单位向量, 长度为 1 1 1.
设 q 1 , q 2 , . . . , q n q_1, q_2, ... , q_n q1,q2,...,qn两两正交, m ∗ n m*n m∗n维矩阵 Q Q Q的各列分别是 q 1 , q 2 , . . . , q n q_1, q_2, ... , q_n q1,q2,...,qn.
那么 Q T Q Q^TQ QTQ是对角矩阵, 对角线上的元素分别为 ∣ ∣ q 1 ∣ ∣ 2 , ∣ ∣ q 2 ∣ ∣ 2 , . . . , ∣ ∣ q n ∣ ∣ 2 ||q_1||^2, ||q_2||^2, ... ,||q_n||^2 ∣∣q1∣∣2,∣∣q2∣∣2,...,∣∣qn∣∣2. 因为2个正交向量的内积为零.
特别地, 如果 q 1 , q 2 , . . . , q n q_1, q_2, ... , q_n q1,q2,...,qn构成一个标准正交向量组, 那么 Q T Q = I Q^TQ=I QTQ=I.
对于这样的矩阵 Q Q Q, ∣ ∣ Q x ∣ ∣ = ∣ ∣ x ∣ ∣ ||Qx||=||x|| ∣∣Qx∣∣=∣∣x∣∣, 因为 ( Q x ) T ( Q x ) = x T Q T Q x = x T x (Qx)^T(Qx)=x^TQ^TQx=x^Tx (Qx)T(Qx)=xTQTQx=xTx, 也就是说, 向量左乘 Q Q Q不会对向量内积的大小做出改变.
更特别地, 如果 q 1 , q 2 , . . . , q n q_1, q_2, ... , q_n q1,q2,...,qn构成一个标准正交向量组, 且 q 1 , q 2 , . . . , q n q_1, q_2, ... , q_n q1,q2,...,qn是 n n n维向量, 也就是说 Q Q Q是 n n n维方阵, 那么
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