MIT18.06 线性代数笔记 16 投影矩阵和最小二乘

最新推荐文章于 2023-12-12 20:50:46 发布

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#线性代数 #MIT 18.06

本文介绍了线性代数中投影矩阵的计算公式P=A(ATA)^{-1}AT，并讨论了当b在矩阵A的列空间C(A)内或垂直于C(A)时的投影性质。进一步阐述了最小二乘问题，通过寻找超平面Xw使得误差平方和最小。当找不到超平面包含所有点时，寻找最小二乘解，即y在C(X)上的投影。文中还涉及了矩阵ATA可逆的条件及其在解决线性方程组中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

我们知道，投影矩阵是 $P=A(A^TA)^{-1}A^T$
若 $b$ 在 $C (A)$ 中, $P b = b$ , 因为 $b$ 可以写成 $A$ 各列的线性组合, 不妨令 $b = A x$ , 则 $Pb=A[(A^TA)^{-1}A^TA]x=Ax=b$
若 $b$ 垂直于 $C (A)$ 中， $P b = 0$ , 因为 $\in N(A^T)$ , $A^Tb=0$
设误差向量 $e$ 是 $b$ 与投影到 $C (A)$ 后得到的向量 $p$ 的误差, $b - p = e, b = p + e$ , 由投影的几何含义可知, $\perp C(A)$

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