本文介绍了线性代数中投影矩阵的计算公式P=A(ATA)^{-1}AT，并讨论了当b在矩阵A的列空间C(A)内或垂直于C(A)时的投影性质。进一步阐述了最小二乘问题，通过寻找超平面Xw使得误差平方和最小。当找不到超平面包含所有点时，寻找最小二乘解，即y在C(X)上的投影。文中还涉及了矩阵ATA可逆的条件及其在解决线性方程组中的应用。
我们知道，投影矩阵是P=A(ATA)−1ATP=A(A^TA)^{-1}A^TP=A(ATA)−1AT
若bbb在C(A)C(A)C(A)中, Pb=bPb=bPb=b, 因为bbb可以写成AAA各列的线性组合, 不妨令b=Axb=Axb=Ax, 则Pb=A[(ATA)−1ATA]x=Ax=bPb=A[(A^TA)^{-1}A^TA]x=Ax=bPb=A[(ATA)−1ATA]x=Ax=b
若bbb垂直于C(A)C(A)C(A)中，Pb=0Pb=0Pb=0, 因为b∈N(AT)b \in N(A^T)b∈N(AT), ATb=0A^Tb=0ATb=0
设误差向量eee是bbb与投影到C(A)C(A)C(A)后得到的向量ppp的误差, b−p=e,b=p+eb-p=e, b=p+eb−p=e,b=p+e, 由投影的几何含义可知, e⊥C(A)e \perp C(A)e⊥
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