我们知道,投影矩阵是P=A(ATA)−1ATP=A(A^TA)^{-1}A^TP=A(ATA)−1AT
若bbb在C(A)C(A)C(A)中, Pb=bPb=bPb=b, 因为bbb可以写成AAA各列的线性组合, 不妨令b=Axb=Axb=Ax, 则Pb=A[(ATA)−1ATA]x=Ax=bPb=A[(A^TA)^{-1}A^TA]x=Ax=bPb=A[(ATA)−1ATA]x=Ax=b
若bbb垂直于C(A)C(A)C(A)中,Pb=0Pb=0Pb=0, 因为b∈N(AT)b \in N(A^T)b∈N(AT), ATb=0A^Tb=0ATb=0
设误差向量eee是bbb与投影到C(A)C(A)C(A)后得到的向量ppp的误差, b−p=e,b=p+eb-p=e, b=p+eb−p=e,b=p+e, 由投影的几何含义可知, e⊥C(A)e \perp C(A)e⊥
MIT18.06 线性代数笔记 16 投影矩阵和最小二乘
最新推荐文章于 2023-12-12 20:50:46 发布