第一节 二重积分的概念与性质
- 二重积分的概念
- 定义:设 f(x,y) 是有界闭区域 上的有界函数。将闭区域 任意分成 n 个小闭区域 Δσ1,Δσ2,⋯,Δσn其中 Δσi 表示第 i 个小闭区域,也表示它的面积。在每个 Δσi 上任取一点 (ξi,ηi),做乘积 f(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,⋯,n),并作和 ∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi。如果当各小闭区域的直径中的最大值 λ 趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数 f(x,y) 在闭区域 上的二重积分,记作 ∬f(x,y)dσ,即∬f(x,y)dσ=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi其中 f(x,y) 叫做被积函数,mathcalf(x,y)dσ 叫做被积表达式,dσ 叫做面积元素,x 与 y 叫做积分变量, 叫做积分区域,∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi 叫做积分和。
- 直角坐标系中的面积元素 ∬f(x,y)dxdy
- 定义:设 f(x,y) 是有界闭区域 上的有界函数。将闭区域 任意分成 n 个小闭区域
- 二重积分的性质
- 性质1: 设 α,β 为常数,则 ∬[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α∬f(x,y)dσ+β∬g(x,y)dσ
- 性质2(可加性): 如果闭区域 被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如 分为两个闭区域 1 与 2,则 ∬f(x,y)dσ=∬1f(x,y)dσ+∬2f(x,y)dσ
- 性质3: 如果在 上,f(x,y)=1,σ 为 的面积,则 σ=∬1∙dσ=∬dσ
- 性质4: 如果在 上, f(x,y)≤φ(x,y),则有 ∬f(x,y)dσ≤∬φ(x,y)dσ特殊地,由于−|f(x,y)|≤f(x,y)≤|f(x,y)|又有∣∣∣∬f(x,y)dσ∣∣∣≤∬∣∣f(x,y)∣∣dσ
- 性质5: 设 ,m 分别是 f(x,y) 在闭区域 上的最大值和最小值,σ 是 的面积,则有 mσ≤∬f(x,y)dσ≤<σ也可推导出∬mdσ≤∬f(x,y)dσ≤∬dσ
- 性质6(二重积分的中值定理): 设函数 f(x,y) 在闭区域 上连续,σ 是 的面积,则在 上至少存在一点 (ξ,η),使得 ∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)∙σ
- 性质1: 设 α,β 为常数,则
第二节 二重积分的计算法
- 利用直角坐标计算二重积分
- 利用极坐标计算二重积分
- 二重积分的换元法
第三节 三重积分
- 三重积分的概念
- 三重积分的计算
第四节 重积分的应用
- 曲面的面积
- 质心
- 转动惯量
- 引力
第五节 含参变量的积分
- 含参变量的积分