小球称重问题扩展

最新推荐文章于 2024-08-05 11:44:25 发布

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本文探讨了一个经典的球谜问题，即如何通过有限次数的称重找出一个未知轻重的坏球。文章提供了三种不同条件下的解决方案，并给出了数学公式来计算在不同称重次数下能处理的最大球数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一个经典的问题：
12个球，一个是坏的，不知轻重，最少几次找出？

若将该问题扩展：

利用天平进行n次称重，最多能够从多少个球中找出一个坏球。
条件：
1. 这堆球中有且只有一个坏球
2. 非坏球称为标准球，其重量相同
3. 坏球可能更重也可能更轻
4. 没有确定正确的标准球可用

设：
F(n): 没有确定正确的标准球可用时，n次称重最多可称出的球数
G(n): 有确定正确的标准球可用时，n次称重最多可称出的球数
H(n): 已知坏球更轻(或更重)，n次称重最多可称出的球数

摆法：

1） H(n): 已知坏球更轻(或更重)，n次称重最多可称出的球数
    --- 这就不讲了

2） G(n): 有确定正确的标准球可用时，n次称重最多可称出的球数
    --- 第一次称重：
        一边放H(n)个球，另一边放等量标准球，这样第一次称重就可判断出轻重
    --- 分情况递归

3） F(n): 没有确定正确的标准球可用时，n次称重最多可称出的球数
    -- 第一次称重：
        左边放 H(n-2) 个球A，右边放 H(n-2) 个球B，
        再取出 [G(n-2)]个球C平均放在左右
        假设天平不平衡，左重（左轻情况对称）
    -- 第一次称重
        将左边的 H(n-2) 个球换为标准球
        [G(n-2)]个球左右调换
        -- 平衡坏球在 A 中，坏球重
        -- 左重坏球在 B 中，坏球轻
        -- 左轻坏球在 C 中，未知轻重
    -- 分情况递归

那么可知
H(n)=n^3
G(n)=H(n-1)+G(n-1) (其中：G(1)=2)

F(n)=2*H(n-2)+[G(n-2)]+G(n-1) (注意[G(n-2)]表示：若G(n-2)为奇数时减1)
G(n)=(3^n+1)/2
H(n)=n^3