十二个小球称重问题及其Python实现

一、问题描述

  在12个外观完全相同的小球中，有一个与其它球重量不同。如何只用一架天平找到这个球并判断它比其它球轻还是重？最少需要称几次？39个球呢？

二、问题分析

  这是一个很经典的信息论问题，最开始的思路是用分组称重的方法，发现每次测量的次数不固定，而且当球数增多时称重次数会明显增加，所以不是次数最优的方法，于是参考了网上编码的方法并做了一点调整。
  一共有12个小球，每个小球都可能偏轻或偏重，共有24种可能，其信息量为 $log_2⁡24≈4.58bit$。利用天平进行称重，天平每次显示结果可能为左倾、右倾或平衡三种，假如出现每种情况的概率相同，则每次称重结果的信息量为 $log_2⁡3≈1.58bit$。$\frac{4.58bit}{1.58bit}≈3$，所以理论上3次称重可以找出质量不同的球并判断出它是偏轻还是偏重。
  根据文献The Problem of the Pennies, F. J. Dyson, The Mathematical Gazette , Vol. 30, No. 291 (Oct., 1946), pp. 231-234 的证明可知，N次称重最多可以从$\frac{3^N-3}{2}$个小球中找出不同的球，当N=3时可以判断12个小球的质量。

三、算法设计

  要以最少次数称重得到结果，则每次称重应获取尽可能多的信息，也就是每次天平称重结果都应包含左倾、右倾、平衡三种可能的情况。于是称重时小球应该分为三堆，特殊小球随机分布于其中一堆，选择两堆置于天平两侧。对此，可以将每个小球进行编码，每次称重时根据编码选择三分之二的小球，对称重结果进行记录，并根据每次称重结果，找出异常小球，

3.1 编码要求

  由于天平结果有三种，我们选择 ‘0’,‘1’,‘2’ 三种字符对小球进行编码，12个小球三次可以测出，因此每个小球由三位编码构成，编码应满足以下三个条件：

• 编码互不相同；
  保证编码唯一性，每个编码对应唯一小球。
• 编码每一位均含有4个‘0’,‘1’,‘2’；
  例如12个小球对应12个编码，这12个编码的第一位中‘0’,‘1’,‘2’各出现四次，第二第三位同理。目的是为了保证每次称重小球均分为三份。
• 每个小球编码对其中的‘0’,‘1’同时取反后，反编码不存在于已编好的序列中。
  取反指编码中的‘0’变为‘1’，‘1’变为‘0’。结合前两条，该条件可以保证每个小球至少上一次天平，同时保证根据结果能够正确找出异常小球。

下一节将具体介绍这样编码的原因，以及利用这些编码称重的过程。

3.2 称重方法

  每次称重天平结果有左倾、右倾、平衡三种，因此需要三种字符对小球进行编码，这里使用 ‘0’,‘1’,‘2’ ；12个球需要称重三次，则每个编码用三位字符表示。根据小球编码判断每次称重时该小球的位置。第 $i$ 次称重，选择编码第 $i$ 位为‘0’的小球置于左盘，第 $i$ 位为‘1’的小球置于右盘，记录天平结果并生成结果序列，为了保证每次称重左右两盘球数相同，编码序列每一位应均包含相同个个数的‘0’,‘1’,‘2’。我们用$heavy$表示重球序列，$light$表示轻球序列，序列生成规则如下：

天平结果	可能原因	处理方式
左倾	左盘含有重球	heavyi