线性递推数列的特征方程

 在二阶差分（也叫递推）式a*f(n+2)+b*f(n+1)+c*f(n)=0中，为了求出一阶差分式，我们总希望将原式子变形成
 f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*( f(n+1)-x1*f(n) )
的形式，因为如果有这样的常数x1，x2使式子成立，那么，数列{f(n+1)-x1*f(n)}就是一个公比为x2的等比数列了。
同时，f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n))还可写成：
 f(n+2)-x2*f(n+1)=x1*(f(n+1)-x2*f(n))，
也可得到，数列{f(n+1)-x2*f(n)}也是一个公比为x1的等比数列。

这样，就可方便地不求出通项式f(n).注意到，要将a*f(n+2)+b*f(n+1)+c*f(n)=0写成f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n))，
必定会有x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a。
利用二次方程根与系数的关系，可知x1,x2恰为ax^2+bx+c=0的两根。
可见，差分方程af(n+2)+bf(n+1)+cf(n)=0的通项式与二次方程ax^2+bx+c=0的根具有紧密的联系。
我们就将这个二次方程称做差分方程的特征方程。

如，斐波那契数列,它满足f(1)=f(2)=1,f(n+2)=f(n+1)+f(n),

那么差分式的特征方程为x^2-x-1=0,解得x1=(1+根号5）/2，x2=(1-根号5)/2,(x1+x2=1,x1*x2=-1).那么{f(n+1)-x1*f(n)}是等比数列，公比为x2,那么可写出f(n+1)-x1*f(n)=(f(2)-x1*f(1))*x2^(n-1)=(1-x1)*x2^(n-1)=x2^n,同理还可写出f(n+1)-x2*f(n)=x1^n.两式相减，
就有：(x1-x2)f(n)=x1^n-x2^n,f(n)=(x1^n-x2^n)/(x1-x2)=((1+根号5)^n-(1-根号5)^n)/(2^n*根号5).
线性递推数列的特征方程是求解通项式常用的方法，关键是要掌握要领。