33、从水平和垂直投影重建规范 hv - 凸离散集

从水平和垂直投影重建规范 hv - 凸离散集

1. 引言

离散断层扫描（DT）的主要任务之一是从少量投影中重建离散集（二维整数格的有限子集）。与计算机断层扫描方法（如滤波反投影和代数重建）使用数百个投影不同，DT 中通常只有少数（通常少于十个）投影可用。由于投影数量非常有限，重建任务通常是极不确定的，即可能有许多不同的离散集具有相同的投影。

为了减少可能的解的数量，一种方法是将重建限制在满足某些几何属性（如连通性和凸性）的离散集类中。在过去 20 - 25 年里，针对不同类别的离散集开发了许多重建算法，并提出了一些关于这些类别中重建复杂性的强大理论结果。

早期有人提出了仅使用两个投影对水平和垂直凸（简称 hv - 凸）离散集进行重建的启发式方法，但后来证明该重建任务是 NP 难的。不过，如果待重建的集合也是连通的，那么可以在多项式时间内完成重建。本文旨在引入一般和连通 hv - 凸离散集类之间的一个中间类，并研究该类中重建的计算复杂性。

2. 预备知识

2.1 离散集的定义与表示

任意有限的二维整数格子集（定义到平移）称为离散集，它也可以用二值图像或二值矩阵表示。为避免混淆，假设二维整数格的垂直轴是从上到下的，离散集的最小包含矩形的左上角位置为 (1, 1)。

2.2 连通性与组件

• 4 - 连通和 8 - 连通 ：如果对于离散集 F 中的任意两个不同位置 P, Q，存在一个不同位置的序列 (i0, j0) = P, …, (ik, jk) = Q，使得 (il, jl) ∈ F 且 |il - il + 1| + |j