34、三维离散断层成像与时间表问题的复杂性：NP 难度的简短证明

三维离散断层成像与时间表问题的复杂性：NP 难度的简短证明

1. 引言

在 2000 年 12 月的一次研讨会上，我介绍了一类受限的三维离散断层成像问题的 NP 难度。当时大家都知道整个三维离散断层成像问题类是 NP 难的，我所介绍的受限类使用了高度降为 3 的三维晶格，并且其中一个投影矩阵的系数都恒为 1。然而，会后有人指出这个结果已在一篇关于时间表问题的重要论文中出现过。回家后我阅读了该论文，发现自己的工作并无新意，且三维离散断层成像问题的 NP 难度的正确参考文献并非大家所想的那样，而是那篇关于时间表问题的旧论文。

8 年后，我与 Sara Brunetti 讨论这个问题，她认为我之前的判断有误。实际上，时间表问题和离散断层成像问题虽很接近，但并不相同，旧论文中的结果比之前认为的更强，这也是本文想要证明的内容。

2. 三维离散断层成像与多原子离散断层成像的关系

离散断层成像的研究始于 20 世纪 50 年代，D. Gale 和 H.J. Ryser 证明了具有规定每行和每列 1 的数量的二进制矩阵的重建可以在多项式时间内解决。三维离散断层成像问题（3DT）则是构建一个三维晶格集，使其在与坐标轴平行的直线上具有规定数量的点。

问题	描述
3DT	给定三个正整数 m、n、l 和三个正整数矩阵 (ri,k)1≤i≤m,1≤k≤l、(cj,k)1≤j≤n,1≤k≤l 和 (vi,j)1≤i≤m,1≤j≤n，问是否存在一个 [1..m]