17、离散断层成像中 hv - 凸多联骨牌投影表征的歧义性研究

离散断层成像中 hv - 凸多联骨牌投影表征的歧义性研究

1. 引言

在离散断层成像领域，从投影来表征二维整数格点中的有限离散点集是一个重要问题。其核心在于通过已知一组离散方向上平行线上的点数，对物体内部结构进行忠实重建。自上世纪 50 年代起，该问题便从理论和计算两个角度展开研究。

由于存在不同点集在相同离散方向投影下一致的情况，为保证重建的唯一性，需要添加约束条件。对于凸多联骨牌类（即与凸包匹配的连通点集类 C），有如下重要定理：
- 定理 1 ：
- 若 U 是一组四个离散方向且其交叉比不属于 {4/3, 3/2, 2, 3, 4}，则类 C 可由 U 唯一确定（即由 U 方向上的投影唯一确定）。
- 类 C 可由任意一组七个相互不平行的方向唯一确定。
- 存在一组六个离散方向不能唯一确定类 C。
- 类 C 不能由任意一组三个离散方向唯一确定。

交叉比的定义为：对于一组四个方向 U = {u1, u2, u3, u4}，其中 ui = (uix, uiy) 且 hi = uiy / uix（i = 1, 2, 3, 4，0 ≤ h1 < h2 < h3 < h4），交叉比 ρ(U) = (h3 - h1)(h4 - h2) / (h3 - h2)(h4 - h1)。若 u4 = (0, 1)，则交叉比简化为 ρ(U) = (h3 - h1) / (h3 - h2)。

该定理的证明依赖于对格 U - 多边形类的分析，这类多边形的特点是对于任意顶点 v 和任意方向 u ∈ U，过 v 且平行于 u 的直线会与另一个不同的顶点 v’ 相交。