17、3D立方体复形中的表面细化算法详解

3D立方体复形中的表面细化算法详解

1. 引言

在形状分析和识别领域，骨架的概念占据着重要地位。简单来说，对象X的骨架是X的一个子集，需满足三个条件：一是要细，二是位于X的中心位置，三是与X在拓扑上等价。为了从几何对象中提取骨架，人们提出了多种方法，涵盖离散几何、数字拓扑、数学形态学、计算几何以及偏微分方程等不同领域。

在离散的三维立方体空间中，通常采用基于简单点删除等拓扑保持细化方法来确保拓扑的不变性。通过并行细化方法或施加几何约束，如保留最大包含球的中心，可以在一定程度上实现骨架的居中。然而，在离散空间中，要同时满足上述三个条件并非易事，尤其是现有的方法难以保证得到细化的结果。

为了克服这些局限性，本文采用了立方体复形的框架。抽象的立方体复形由V. Kovalevsky提出，为图像分析提供了坚实的拓扑基础。直观上，立方体复形可以看作是由不同维度的元素（如立方体、正方形、边、顶点）按照一定规则拼接而成的集合。在这个框架下，如果一个复形不包含任何三维元素（立方体），我们就称它是“细”的。本文后续提出的细化方法将在这个意义上产生细化的结果。

在立方体复形的框架中，G. Bertrand引入的临界核概念是研究任意维度并行同伦细化的有力工具，它统一并涵盖了之前关于并行细化的工作。临界核不仅可以作为一种细化方案，通过迭代计算上一步结果的临界核来实现细化，还可用于设计新算法以及检查现有算法的拓扑有效性。然而，基于临界核的细化算法并不能保证结果的维度严格低于输入。早期在立方体复形中进行降维细化的工作可以在相关文献中找到。

本文的工作将通过使用塌缩操作来确保拓扑的不变性。塌缩操作是由J.H.C. Whitehead引入的一种基本的拓扑保持变换，在组合拓扑