17、耦合参数化弹性体的模型降阶在形状优化中的应用

耦合参数化弹性体的模型降阶在形状优化中的应用

1. 引言

有限元方法是建模弹性结构的常用方法，但精细空间离散化会使二阶微分方程组规模庞大，计算耗时。模型降阶（MOR）可降低计算量。复杂系统模型常采用模块化方式构建，即先分别建模各组件，再耦合得到整体系统模型，这样便于简化建模和进行变体研究。对于此类耦合系统的MOR，有两种常见方法：一是先耦合全阶组件模型，再对系统模型进行MOR；二是先分别降阶组件，再耦合降阶后的组件模型得到降阶系统模型。

本文的创新点在于考虑几何参数化的组件模型，将两种MOR方法扩展为参数化模型降阶（PMOR），用于耦合的几何参数化系统，并在降阶形状优化示例中比较这两种方法。

2. 理论背景

• 二阶微分方程 ：使用线性有限元方法（FEM）建模弹性结构，得到二阶微分方程组：
  [M(p)\ddot{q} + K(p)q = f_{ext}]
  其中，(q \in R^N) 为节点位移，(f_{ext} \in R^N) 为外部力，(M(p) \in R^{N\times N}) 和 (K(p) \in R^{N\times N}) 分别为质量矩阵和刚度矩阵，且二者均由参数向量 (p \in R^d) 参数化，用于描述参数化几何或材料属性。
• 参数化系统 ：将外部力 (f_{ext}) 改写为输入矩阵 (B \in R^{N\times k}) 与系统输入 (u \in R^k) 的乘积，并添加输出方程，得到二阶线性参数可变系统：
  [
  \begin{cases}
  M(p)\ddot{q} +