16、3D离散旋转的铰链角

3D离散旋转的铰链角

1. 引言

在3D空间中，铰链角的扩展能够取得与某些情况相同的结果，这一结果在诸如姿态问题等方面具有重要应用价值。姿态问题为了获得最优解，需要尝试所有不同的旋转，但在连续空间中，由于存在无穷多种旋转情况，这是不可能实现的。而使用铰链角来解决这个问题，有助于达到最优解。

我们主要研究3D离散空间中的旋转，仅考虑整数计算，假定旋转中心是像原点这样的网格点，并且旋转轴具有整数坐标。

2. 铰链角的定义

2.1 2D铰链角

• 2D半网格 ：平面中的半网格是一组直线，每条直线由 $x = i + \frac{1}{2}$ 或 $y = i + \frac{1}{2}$（$i \in \mathbb{Z}$）表示，它代表了两个相邻像素之间的边界。
• 2D铰链角 ：若至少存在一个点 $p \in \mathbb{Z}^2$，使得其绕原点进行角度为 $\alpha$ 的欧几里得旋转后的像落在3D半网格上，则称角度 $\alpha$ 为铰链角。例如，对于网格点 $(2, 1)^{\top}$，图1展示了第一象限内的所有铰链角，其他象限的铰链角可通过关于 $x$ 轴和/或 $y$ 轴的对称关系从第一象限的铰链角得到。

2.2 3D铰链角

• 3D半网格 ：3D空间中的半网格是一组平面，每个平面由 $x = i + \frac{1}{2}$、$y = i + \frac{1}{2}$ 或 $z = i + \frac{1