15、菱形网格中的邻域序列与3D离散旋转的铰链角

菱形网格中的邻域序列与3D离散旋转的铰链角

1. 菱形网格中的邻域序列

1.1 邻域关系与路径

在菱形网格中，点与点之间存在着特定的邻域关系。例如，点序列 (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (1, -1, 0, 0), (1, -1, 1, 0), (0, -1, 1, 0) 并非严格的4 - 邻接点对，因为其中存在相互反向的步骤。但点 (0, 0, 0, 0) 和 (0, -1, 1, 0) 是严格的2 - 邻接点，同时也是非严格的4 - 邻接点。

邻域序列B是一个整数序列 (b(i) \in {1, 2, 3, 4})，记为 (B = (b(i))_{i = 1}^{\infty})。如果B是周期性的，即对于某个固定的 (l \in N (l > 0))，对于所有的 (i \in N) 都有 (b(i) = b(i + l))，则可将B写为 (B = (b(1), b(2), \cdots, b(l)))。

网格中的路径是相邻网格点的序列 ((p = p_0), p_1, \cdots, (p_m = q))。如果对于所有的 (i \in {1, 2, \cdots, m})，(p_{i - 1}) 和 (p_i) 是 (b(i)) - 邻接点，那么该路径是长度为m的B - 路径。B - 距离 (d(p, q; B)) 定义为从p到q的最短B - 路径的长度。

1.2 最短路径算法

为了生成任意两点之间的最短路径，我们有以下算法：

Algorithm 1. Computing a shortes