凸函数的梯度的单调性 (Monotonicity of gradient)

可微函数 $f$ 是凸函数 当且仅当 $domf$ 是凸集，且 $$(▽f(x)-▽f(y){)}^T(x-y)>0,\forall x,y\in domf$$ 即 $▽f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是单调映射（monotone mapping）。

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证明：

1. 如果 $f$ 是可微的凸函数，则有 $$\begin{gathered} f(y)\ge f(x)+▽f(x{)}^T(y-x), \\ f(x)\ge f(y)+▽f(y{)}^T(x-y). \end{gathered}$$将上面两式相加得$$(▽f(x)-▽f(y){)}^T(x-y)>0$$
2. 如果 $▽f$ 是单调的，定义函数 $g$ : $$\begin{gathered} g(t)=f(x+t(y-x)),t\in [0,1] \\ {g}^{\prime }(t)=▽f(x+t(y-x){)}^T(y-x) \end{gathered}$$则由 $g^{\prime }(t)$ 的连续性以及 $$g^{\prime }(1)-g^{\prime }(0)>0且g^{\prime }(0)-g^{\prime }(0)=0$$得$$g^{\prime }(t)-g^{\prime }(0)\ge 0,$$因此 $$\begin{gathered} f(y)=g(1)=g(0)+{\int }_0^1{g}^{\prime }(t)dt\ge g(0)+g^{\prime }(0) \\ =f(x)+▽f(x){)}^T(y-x) \end{gathered}$$ 即 $f$ 为凸函数。