XX^{T} 和 X^{T}X 的关系

记 $A=X^{T}X，B=X{X}^T$。假设 $X\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，则 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，$B\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$。易得$$dim(A)=dim(B)=dim(X)$$

显然，A 和 B 都是对称半正定矩阵，且 A 有 n 个特征向量， B 有 m 个特征向量。

特征向量之间的关系：
若 u 是 B 的特征向量，即 $Bu=\lambda u$，则 $X^{T}u$ 是 A 的特征向量。

证明：$$A(X^{T}u)=X^{T}X{X}^{T}u=X^{T}Bu=X^T(\lambda u)=\lambda (X^{T}u)$$

同理， 若 v 是 A 的特征向量，即 $Av=\lambda v$，则 $Xv$ 是 B 的特征向量。