本文探讨了线性规划的原问题与对偶问题，通过引入拉格朗日函数，详细推导了从原问题到对偶问题的转换过程。展示了如何通过对偶问题求解原问题，并解释了其在优化理论中的应用。
原问题
minx cTxs.t. Ax=bx≥0(1)\min_x \;c^Tx\\s.t. \;Ax=b\\x\geq 0 \tag{1}xmincTxs.t.Ax=bx≥0(1)
对偶问题
maxy bTys.t. ATy+s=cs≥0(2)\max_y\;b^Ty\\s.t.\;A^Ty+s=c\\s\geq 0\tag{2}ymaxbTys.t.ATy+s=cs≥0(2)
A∈Rm×n,x∈Rn,s∈Rn,y∈RmA \in \R^{m\times n}, x \in \R^{n}, s \in \R^{n}, y \in \R^{m}A∈Rm×n,x∈Rn,s∈Rn,y∈Rm
推导
引入拉格朗日函数:L(x,λ,μ)=cTx+λT(Ax−b)−μTxL(x,\lambda,\mu) = c^Tx+\lambda^T(Ax-b)-\mu^T xL(x,λ,μ)=cTx+λT(Ax−b)−μTx要求 μ>0\mu >0μ>0，λ\lambdaλ随意。容易验证：supλ,μL(x,λ,μ)=cTx\sup_{\lambda,\mu} L(x,\lambda,\mu) = c^Txλ,μsupL(x,λ,μ)=cTx因而原问题就等价于：infx∈Dsupλ,μL(x,λ,μ),(P)\inf_{x\in D}\sup_{\lambda,\mu} L(x,\lambda,\mu), \tag{P}x∈Dinfλ,μsupL(x,λ,μ),(P)其中可行域 D={x∣Ax=b,x≥0}D=\{x| Ax=b, x \geq 0\}D={x∣Ax=b,x≥0}。下面我们构造对偶问题：
supλ,μinfxL(x,λ,μ).(D) \sup_{\lambda,\mu}\inf_{x} L(x,\lambda,\mu). \tag{D} λ,μsupxinfL(x,λ,μ).(D)
先对 x 取下界：
infxL(x,λ,μ)=−λTb+infx(c+ATλ−μ)Tx={−λTb, c+ATλ−μ=0−∞, otherwise\inf_{x} L(x,\lambda,\mu)
\\= -\lambda^Tb + \inf_x{(c+A^T\lambda -\mu)^Tx}
\\=\left\{
\begin{array}{lr}
-\lambda^Tb, \;\;\;\;c+A^T\lambda -\mu=0& \\
-\infty, \;\;\;\;\;\;\;otherwise&
\end{array}
\right.
xinfL(x,λ,μ)=−λTb+xinf(c+ATλ−μ)Tx={−λTb,c+ATλ−μ=0−∞,otherwise
显而易见，对偶问题 (D) 值有当 c+ATλ−μ=0c+A^T\lambda -\mu=0c+ATλ−μ=0 时才有意义。所以对偶问题写成：maxλ −bTλs.t. ATλ−μ+c=0μ≥0\max_\lambda\;-b^T\lambda\\s.t.\; A^T\lambda-\mu+c=0\\\mu\geq 0λmax−bTλs.t.ATλ−μ+c=0μ≥0令 y=−λ,s=μy = -\lambda, s=\muy=−λ,s=μ 即变成问题 (2)。
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