[最优化]线性规划中的对偶问题

线性规划问题可以通过其对偶问题来求解,对偶问题同样为线性规划形式。对偶问题的解可以帮助理解原问题的本质,并在某些情况下简化求解过程。弱对偶引理表明原问题与对偶问题的目标函数满足‘极大值≤极小值’。对偶定理保证了原问题和对偶问题都存在最优解时,它们的目标函数值相等。互补松弛条件是判断两者最优解的充分必要条件。

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线性规划中的对偶问题

每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题,对偶问题也是一个线性规划问题,并且对偶问题的对偶问题是原问题。原问题的最优解可以由对偶问题得到,有时候利用对偶理论求解线性规划问题更加简单,也更能了解问题的本质。在对偶理论的启发下,单纯形法的性能得到了改进,也出现了一些求解线性规划问题的非单纯形法,本文暂不详解。

对偶关系

考虑如下形式的对偶问题

minimizecTxsubject toAxbA0minimizecTxsubject toAx≥bA≥0

将其称为原问题,其相应的对偶形式定义为
maximizeλTbsubject toλTAcTλ0maximizeλTbsubject toλTA≤cTλ≥0

其中 λλ 称为对偶向量,这种对偶称为 对称形式的对偶
另外对于线性规划的标准形,其约束为 Ax=bAx=b ,等价于
Axb
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