构造极限环

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#极限环 #相图 #单位圆

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在极坐标下容易想到，使半径收敛到常数 $R$ 即可
$\dot{r} = -r(r^2-R^2)\\ \dot{\theta} = \omega$

其中 $R,ωR,\omega$ 为极限环的半径和角速度

转化成直角坐标：
$\begin{aligned} \dot{x} &= (r\cos\theta)' = \dot{r}\cos\theta - r\sin\theta\dot{\theta}\\ &=-r(r^2-R^2)\cos\theta- r \omega \sin\theta \\ &= -x(x^2+y^2-R^2) - \omega y \end{aligned}$ $\begin{aligned} \dot{y} &= (r\sin\theta)' = \dot{r}\sin\theta + r\cos\theta\dot{\theta}\\ &= -r(r^2-R^2)\sin\theta + r \omega \cos\theta \\ &= -y(x^2+y^2-R^2) + \omega x \end{aligned}$
即
$\begin{aligned} \dot{x} &= -x(x^2+y^2-R^2) - \omega y\\ \dot{y} &= - y(x^2+y^2-R^2) + \omega x \end{aligned}$

不妨令 $R=1,ω=1R=1,\omega=1$ ，用 matlab 画相图如下：

clc;clear;close;
[x,y]=meshgrid(linspace(-3,3));
h=streamslice(x,y, -y-x.*(x.^2+y.^2-1), x -y.*(x.^2+y.^2-1));
title('Limit Circle')
xlabel('x');ylabel('y');
xlim([-3,3]);ylim([-3,3]);
set(h,'Color','k')
axis equal
hold on
theta=0:pi/30:2*pi;
x1=cos(theta);y1=sin(theta);
plot(x1,y1,'r--')

在这里插入图片描述

clc;clear;close;
[x,y]=meshgrid(-1.5:0.2:1.5,-1.5:0.2:1.5);
u=-y-x.*(x.^2+y.^2-1);
v=x-y.*(x.^2+y.^2-1); 
hadl=quiver(x,y,u,v)
title('Limit Circle')
set(hadl,'Color','k')
axis equal
xlabel('x');ylabel('y');
xlim([-1.5,1.5]);ylim([-1.5,1.5]);
hold on
theta=0:pi/30:2*pi;
x1=cos(theta);y1=sin(theta);
plot(x1,y1,'r--')

在这里插入图片描述