平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1

这不能算是一道概率题啊大哥！

两个特例

特例1：$x+y<1$——两个随机数之和小于1

结果是紫色部分，为$1/2$

特例2：$x+y+z<1$——三个随机数之和小于1

结果为深底下面的，占整个体积的$1/6$
$$锥体积=1/3\ast 底面积\ast 高=1/3\ast 1/2\ast 1\ast 1$$

这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：
$${\int }_0^1\frac{x^2}{2}dx=1/6$$

推广

四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的 “体积”，它的 “底面” 是一个体积为 1/6 的三维体，在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”
$${\int }_0^1(x^3)\ast 1/6dx=1/24$$
依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 – 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是
$$(1–1/n!)–(1–1/(n-1)!)=(n-1)/n!$$
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为
$$\sum _{n=2}^{\infty }n\ast (n-1)/n!=\sum _{n=1}^{\infty }n/n!=e$$