最长公共子序列（Longest Common Subsequence）

最长公共子序列（LCS）是比较两个符号序列相似性时很常用的方法。

比如在文章查重方面，比较一下公共部分的占比就可以判定两篇文章有没有抄袭。

下面来看看解法：

暴力穷举

虽说是暴力法，写出来还是很精炼的，乍眼一看好像没毛病

def LCS(X, Y):
    if not X or not Y:
        return ""
    x, m, y, n = X[0], X[1:], Y[0], Y[1:]
    if x == y:
        return x+LCS(m, n)
    else:
        # Use key=len to select the maximum string in a list efficiently
        return max(LCS (X, n), LCS(m, Y), key=len)

#assert(LCS('ABCBDAB', 'BDCABA')=='BCBA')

如果只需要计算子序列长度

def LCS_length(X, Y):
    if not X or not Y:
        return 0
    x, m, y, n = X[0], X[1:], Y[0], Y[1:]
    if x == y:
        return 1+LCS_length(m, n)
    else:
        # Use key=len to select the maximum string in a list efficiently
        return max(LCS_length(X, n), LCS_length(m, Y))

时间复杂度有多少呢？

假设 X 长度为 m，Y 长度为 n，则有递归式：
$$T(m,n)=T(m-1,n)+T(m,n-1)$$

感受一下对角元的增速

动态规划

开辟 $O(mn)$ 的数组

def LCS_dp(X, Y):
    Table = [[0 for j in range(len(Y) + 1)] for i in range(len(X) + 1)]
    # row 0 and column 0 are initialized to 0 already
    for i, x in enumerate(X):
        for j, y in enumerate(Y):
            if x == y:
                Table[i + 1][j + 1] = Table[i][j] + 1
            else:
                Table[i + 1][j + 1] = max(Table[i + 1][j], Table[i][j + 1])
    # read the substring out from the matrix
    result = ""
    x, y = len(X), len(Y)
    while x != 0 and y != 0:
        if Table[x][y] == Table[x - 1][y]:
            x -= 1
        elif Table[x][y] == Table[x][y - 1]:
            y -= 1
        else:
            assert X[x - 1] == Y[y - 1]
            result = X[x - 1] + result
            x -= 1
            y -= 1
    return result