图信号处理——拉普拉斯矩阵

图拉普拉斯矩阵详解

最新推荐文章于 2025-09-11 09:19:10 发布

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#拉普拉斯 #图 #矩阵

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本文深入探讨了图拉普拉斯矩阵的定义及其在图信号处理中的应用，包括邻接矩阵、对角矩阵的构成，以及拉普拉斯矩阵的性质如特征值、特征向量、半正定性和图信号滤波等。

用 $G (V, E)$ 表示图， $V$ 为图的节点集， $E$ 为图的边集。

用 $A = [a_{ij}]$ 表示图的邻接矩阵。图的拉普拉斯矩阵为： $L = D - A$ ，其中 $D = [d_{ij}]$ ，为对角矩阵，对角元满足 $dii=∑jaijd_{ii} = \sum_j a_{ij}$ ，即 $A$ 的第 $i$ 行元素之和。

拉普拉斯矩阵有几个重要性质：

$L⋅1⃗=0⃗L\cdot \vec{1} = \vec{0}$ ，暗示含有特征值 0；
对称矩阵，有N个实特征值和特征向量；
对于任意图信号 $x$ ， $(Lx)i=∑j∈Ni(xi−xj)(Lx)_i = \sum_{j\in N_i} (x_i - x_j)$ ，即 $L x$ 的第 $i$ 个元素的含义为节点 $i$ 的信号与其邻居节点的信号的差距之和，因此称其为 variation；
对于任意向量 $x∈RNx\in\mathbb{R}^N$ ， $xTLx=∑ixi∑j∈Ni(xi−xj)=∑i∑j∈Nixi(xi−xj)=∑i,j(xi−xj)2≥0x^TLx = \sum_i x_i\sum_{j\in N_i} (x_i - x_j)= \sum_i \sum_{j\in N_i} x_i(x_i - x_j)= \sum_{i,j}(x_i - x_j)^2\geq 0$ 。说明 $L$ 是半正定矩阵。 $x^TLx$ 称为 total variation，常作为 Graph Laplacian Regularizer 用于正则化.
拉普拉斯矩阵有几种归一化方式： $L^=I−D−1A\hat{L} = I-D^{-1}A$ 或者 $Lˉ=I−D−12AD−12\bar{L} = I-D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}$ 其中 $L^\hat{L}$ 保证每一行元素之和为 1， $Lˉ\bar{L}$ 为对称矩阵。

图信号滤波

假设向量 $x⃗∈RN\vec{x}\in\mathbb{R}^N$ 为原始图信号，其中 $N$ 为图的节点数，我们可以用 $A, W, D, L, L 1, L 2$ 对原始图信号滤波。
具体来看： $y = A x$ ，则 $yi=∑j∈Nixjy_i = \sum_{j\in N_i} x_j$ ，即新的图信号 $y$ 表示邻居节点的原始信号之和。易得 $D^{-1}A$ 表示所有邻居节点的原始信号的均值。