高斯分布与聚类算法实验分析

21、从以下两个二维高斯分布中各生成100个数据点，其参数分别为：均值向量 μ₁ᵀ = [0.9, 1.02]ᵀ，μ₂ᵀ = [−1.2, −1.3]ᵀ，协方差矩阵 Σ₁ = [[0.5, 0.081], [0.081, 0.7]]，Σ₂ = [[0.4, 0.02], [0.02, 0.3]]。用不同颜色绘制这两个高斯分布的数据点。实现k - 均值算法。(a) 运行k - 均值算法，设置簇的数量K = 2，并绘制结果。同时运行高斯混合EM算法，并绘制80%概率置信椭圆以比较结果。(b) 现在，从每个分布中分别采样N₁ = 100和N₂ = 20个点，重复该实验。(c) 尝试不同的配置，使用与真实簇数量不同的K值。对结果进行评论。(d) 尝试不同的初始化点，也尝试那些离簇的真实均值非常远的点。对结果进行评论。

高斯分布数据生成、聚类算法实现及结果分析

本题围绕高斯分布数据的生成、聚类算法的实现以及结果分析展开。任务包括数据生成、绘图、算法实现、在不同参数设置下的实验，以及对实验结果的评论。具体操作步骤如下：

1. 生成数据 ：
   从给定的两个二维高斯分布中各生成100个数据点，并使用不同颜色绘制数据点。

2. 实现k-均值算法 。

3. (a) 运行k-均值算法（K = 2）并绘图 ：
   同时运行高斯混合EM算法，并绘制80%概率置信椭圆，以比较两种方法的聚类结果。

4. (b) 从每个分布中分别采样N₁ = 100和N₂ = 20个点 ：
   重复上述实验，观察样本数量变化对聚类结果的影响。

5. (c) 尝试不同的K值进行实验 ：
   并对结果进行评论，例如当K值与真实簇数量差异较大时，聚类结果可能会变得不准确。

6. (d) 尝试不同的初始化点 ：
   包括离真实均值较远的初始化点，对结果进行评论，例如初始化点距离真实均值较远可能导致收敛速度变慢或聚类结果不准确等。

22、在区间[-1, 1]内生成50个等距的输入数据点。假设有两个线性回归模型，第一个模型的斜率为0.005，截距为 - 1；第二个模型的斜率为0.018，截距为1。对于区间[-0.5, 0.5]内的输入点，使用第一个模型生成观测值；对于区间[-1, -0.5]∪[0.5, 1]内的输入点，使用第二个模型生成观测值。此外，添加均值为0、方差为0.01的高斯噪声。接下来，实现EM算法。将噪声精度β初始化为其真实值。对于第1、5和30次迭代，绘制数据点以及模型的估计线性函数θ1,kx + θ0,k（k∈{1, 2}）。

本题可按以下步骤求解：

1. 在区间[-1, 1]生成50个等距输入数据点。
2. 根据不同区间选择对应的线性回归模型生成观测值，并添加均值为0、方差为0.01的高斯噪声。
3. 实现EM算法，将噪声精度β初始化为真实值。
4. 分别在迭代次数为1、5和30时，绘制数据点和估计的线性函数θ _1,k x + θ _0,k （k ∈ {1, 2}）。

在实际操作中，需要运用编程语言（如Python）来完成这些步骤，可使用NumPy生成数据和噪声，运用SciPy实现EM算法，使用Matplotlib进行绘图。

23、假设有五个高斯分布，从每个分布中生成N = 60个数据点。实现EM算法，以获得高斯混合模型参数的估计值。假设K = 25个聚类，使用随机选择的初始均值和协方差矩阵，在生成的数据上运行EM算法。接下来，实现处理相同问题的变分贝叶斯算法。绘制EM算法和变分贝叶斯算法的初始和最终估计值。尝试不同的参数值。

首先从五个高斯分布中，每个分布生成60个数据点。接着使用随机选择的初始均值和协方差矩阵，假设存在25个聚类，在生成的数据上运行EM算法来估计高斯混合模型的参数。

然后实现变分贝叶斯算法处理相同问题。

最后绘制EM算法和变分贝叶斯算法的初始和最终估计值，并尝试不同的参数值。

24、在区间[-10, 10]内生成一个包含100个等距采样点$x_n$的向量。计算100个基函数，每个基函数位于采样点$x_n$处，形式为$\varphi_n(x) = \exp(-(x - x_n)^2 / (2\sigma_{\varphi}^2))$，其中$\sigma_{\varphi}^2 = 0.1$。随机选择两个基函数，根据一个通用的回归模型计算输出样本$y_n$。加性噪声功率应对应于6dB的信噪比。实现由通用的EM算法，以便将包含100个基函数的（广义）线性回归模型拟合到生成的数据$y_n$。同时，实现变分贝叶斯EM算法。绘制重构信号并比较结果。

任务描述

这是一个关于数据生成、模型拟合和结果比较的任务，具体步骤如下：

1. 在区间 $[-10, 10]$ 生成 100 个等距采样点 $x_n$；
2. 计算每个采样点对应的基函数 $\varphi_n(x)$； </