深度学习入门——用python从轮子开始造神经网络（2）

深度学习入门——用python从轮子开始造神经网络（2）

作者：时棋

话接上期——上期我们造了一个极简风格的原始网络，跑不动的那种。那么问题出在哪里呢？之前仅仅只是用“效率过低”简单概括了下，那么具体是哪里的效率过低拖慢了整体速度呢？经笔者测试，上期的示例代码在计算梯度时，执行一步梯度下降并计算出新梯度需要将近一分钟，而我们的程序要求多次执行梯度下降算法，这样的时间消耗是不可接受的。而且实际上，上期构筑的网络忽略了许多要素，简化的同时可能会丢失许多重要的因素，因此，这期我将在采用更高效的计算梯度的算法的基础上，构筑一个含有完整的输入层、中间层、输出层的2层神经网络，同时加入偏置。

注意，这一期数学推导的占比较大

神经网络流程示意

我们依然以MNIST数据集为例，从训练集中抽取100个作为一轮学习的单元，建立一个中间层含50个神经元的神经网络。

首先，输入层为$X(100\ast 784的数组)$，后经过Affine层（加权和与加偏置的操作对应几何中的仿射变换），$X\cdot W_1+B_1(W_1为784\ast 50的数组,B_1为100\ast 50的数组)$ ，经过激活函数（这里以Sigmoid函数为例）处理得矩阵$Y(100\ast 50的数组)$，再经过一层Affine层，$Y\cdot W_2+B_2(W_2为50\ast 10的数组,B_2为100\ast 10的数组)$，经过输出层激活函数（这里使用softmax函数），得到最终的预测矩阵，同时为神经网络的学习需要，计算交叉熵误差作为损失函数值。

以上为简略示意图

而在代码实现的过程中，我们实际上是要创建以下几个层：Affine层、sigmoid层、softmax_loss层

误差反向传播算法

那么我们进入正题，如何快速求出梯度？从我们原始的方法开始分析，在上期的代码中，我们是怎么求梯度的？

实际上，我们采取了原始的数值微分方法，通过上下小幅度改变权重矩阵中元素的值，再次计算损失函数，然后相减除以差分。这相当于把正向的流程走了两遍。由于每个元素都要走两遍，那么一共就是784乘10乘2等于15680次，如果是我们这次要建的2层网络，那就是784乘50乘2加上50乘10乘2等于79400次！

这还深度学个啥呀……

有没有办法一遍就能把梯度求出来呢？显然光靠计算机是不行的，求数值解过于耗费算力，如果人工能求出解析解公式，那便会轻松很多，相当于求一个嵌套函数的导数。链式法则实在太适合这 一应用场景了！在前向传播中，每一层都可以有“记忆”，有了记忆，反过去求导数就不用再计算一遍了，同时矩阵中的元素也不需要单独计算偏导了。以上述示意图为例，即为：
$$\frac{\partial z}{\partial W_1}=\frac{\partial z}{\partial Y_1}\cdot \frac{\partial Y_1}{\partial Y}\cdot \frac{\partial Y}{\partial X_1}\cdot \frac{\partial X_1}{\partial W_1}$$
$W_2,B_1,B_2$同理

简而言之，现在我们的每一层作为对象所能实现的方法不仅包括前向传播，还有反向传播。

让我们一层层来：

Affine层

这一层最需要理解的就是矩阵的求导，从简单的例子来看一下推导过程：

若输出值为一个常数$L$，求$L$关于一维数组$X$的导数矩阵，则$\frac{\partial L}{\partial X}=(\partial x_1$