欧拉函数

定义

记小于等于 $x$ 中与 $x$ 互质的正整数个数为 $\phi(x)$

计算方法

$\phi(x) = x\Pi_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})$

代码

线性筛求欧拉函数 $O(n)$

int tot_prime, prime[maxn], phi[maxn];
bool vist[maxn];
void get_prime(){

    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i, phi[i] = i - 1;
        for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j){
            vist[i*prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
    }
}

分解质因数求解大数的欧拉函数 $O(logn)$

int phi(int x){

    int rtn = 1, cpy_x = x;
    for(int i = 1; prime[i] * prime[i] <= cpy_x && i <= tot_prime; ++i){

        int temp = 1;
        while(x % prime[i] == 0){
            x /= prime[i];
            temp *= prime[i];
        }
        if(temp > 1) rtn *= temp - temp / prime[i];
    }
    if(x > 1) rtn *= (x - 1); // 还剩下一个很大的质数

    return rtn;
}

一些性质

1. $\phi(p)=p-1$
2. $\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$
3. $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ <$gcd(x,y)=1$>
4. [欧拉定理] $a^{\phi(x)}=1$ $mod$ $x$
5. [费马小定理] $a^{p-1}=1$ $mod$ $p$ => $inv(a)=a^{p-2}$ $mod$ $p$
6. $\Sigma_{d|n}^n\phi(d)=n$

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参考

[欧拉函数]http://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4755455.html
[积性函数、线性筛、莫比乌斯反演和一堆乱七八糟的题目]http://jcvb.is-programmer.com/posts/41846.html