快速傅立叶变换（FFT）

昨晚写了各种FFT模板，还是稍微记录一下吧

FFT原理

还是上最基本的问题：求$C(x)=A(x)B(x)$
其中$A(x)=\Sigma_{i=0}^{i<n}a_ix^i~B(x)=\Sigma_{i=0}^{i<m}b_ix^i$
暴力求解的复杂度为$O(n^2)$，FFT则可以在$O(nlogn)$的时间复杂度内实现

FFT的实现主要分两步，点值运算和插值运算

  

点值运算

首先注意到$C(x)$的次数界$N$至多为$A(x)$与$B(x)$的次数界之和，即$N<n+m$
为了方便，我们先让$N$稍微取大一点

for(N = 1; N < n + m; N <<= 1);

我们先不急着求出$C(x)$，而是把$N$个值带入$A(x)$与$B(x)$，求出$C(x_k)=A(x_k)B(x_k)$
如果这$N$个值的选取是任意的，那么这么做的复杂度仍然是$O(n^2)$，算法并没有得到任何的优化，所以这$N$个数一定是特殊的

这$N$个值在复平面上选取，使其平均地分布在复平面上
如下图：当$N=8$时，$\omega_8^{0...7}$的取值

由复数的运算可知，这$N$个数（$N$次单位复数根的集合）构成了一个等比数列
其中$\omega_N^0=1$,$\omega_N^{k+1}=\omega_N^k\omega_N$

  
复平面上的这$N$个数有一些神奇的性质，将用几个引理来描述：
消去引理：
$\omega_{dN}^{dk}=\omega_N^k~→~(\omega_N^k)^2=\omega_{N/2}^k$
折半引理：
如果$N>0$且为偶数，那么$N$次单位复数根的平方的集合就是$N/2$次单位复数根的集合
  由折半引理