欧拉筛法 && 欧拉函数

最新推荐文章于 2023-10-31 16:42:09 发布

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#数论

本文介绍了欧拉筛法，一种优化埃拉托斯特尼筛法，使其复杂度降低到O(n)的方法，确保每个数只被最小质因子筛选一次。接着解释了欧拉函数的概念，给出了欧拉函数的性质及其计算公式，并展示了如何在筛质数的过程中以O(n)时间复杂度求出1到n的欧拉函数值。

#欧拉筛

对于O(nlognlogn)的埃拉特斯特尼筛法：

>for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
           prime[cnt++]=i;//保存素数 
           for(int j=i*i;j<n;j+=i)//i*i开始进行了稍微的优化
	       vis[j]=1;//因为 i 为素数 所以 i 的倍数  都是 合数 
        }
    }

可以发现有被重复筛到的数比如30 =2 * 15 =3 * 10 = 5* 6

欧拉筛就巧妙地让每个数都只被最小的质因子筛掉从而使复杂度变为O（n）

	for(int i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!notprime[i])
		{
			prime[++cnt]=i;//统计质数
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=maxn;j++)
		{
			notprime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)//这里是精髓
				break;
		}
	}

通过

if(i%prime[j]==0)

这一句就实现了保证每个数只其最小质因子被筛一次
为啥？
对于一个数 a 假设它可以整除prime[ j ]
即 a= prime[ j ] * x
那么 a* prime[ j +1 ] = prime[ j ]* x * prime[ j+1 ]
所以 j 再往后就没有必要筛了
因为a*prime[ j+1 ] 肯定会在 i= x * prime[ j+1 ]的时候被prime[ j ]筛掉

比如对于 i = 6 时
可以知道 6 = 2 * 3
那么 j=1 即 prime[ j ] = 2 时 2 * 6 = 12 被筛掉并退出循环
此时3 * 6 = 18并不会被筛掉因为18 = 3 * 2 * 3
所以后来当i= 9时才会筛掉2 * 9 =18

#欧拉函数

定义：在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。
分几种情况

当n为质数时 phi( n ) = n-1因为质数的因数只有1和本身
若n为质数p的k次方那么 $p^k - p^{k-1} =p^{k}(1-\frac 1 p)$
因为只有当一个数不包含质数p才可能与n互质，而包含质数p的数一共有 $1×p,2×p,3×p,...pp−1×p1\times p , 2 \times p ,3 \times p ,... p^{p-1}\times p$ 共 $ p^{k-1}$个
若n为两个质数p1 p2 的乘积：如果a与p1互质(a < p1)，b与p2互质(b < p2)，c与p1p2互质(c < p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。有