56、时变非线性数字均衡与区间二型模糊逻辑控制

时变非线性数字均衡与区间二型模糊逻辑控制

1. 时变非线性数字均衡

在时变非线性数字通信系统中，信道状态是一个关键因素。当信道系数随时间变化时，信道状态不再是八个孤立的点，而是形成了八个聚类。这些聚类表明，对于所有的 $i = 1, \ldots, 8$，$\hat{r}_i$ 是不确定的。

1.1 模糊自适应滤波器（FAF）的设计

• T1 FAF ：对于单例 T1 FAF，规则前件选择以单信道状态为中心的一型高斯隶属函数（MF）。
• IT2 FAF ：对于单例 IT2 FAF，规则前件选择二型 MF，即例 6.17 中给出的具有不确定均值的高斯主 MF，其中 $r_l^k \approx r_e$。这种选择是由信道状态聚类在其两个轴上的投影所驱动的。

单例 T1 和单例 IT2 FAF 的规则结构如下：
- 单例 T1 FAF 规则（$l = 1, \ldots, 8$） ：
$R_l^{TSK}$：如果 $r(k)$ 是 $F_l^1$ 且 $r(k - 1)$ 是 $F_l^2$，那么 $y_l = w_l$
- 单例 IT2 FAF 规则（$l = 1, \ldots, 8$） ：
$\tilde{R}_l^{TSK}$：如果 $r(k)$ 是 $\tilde{F}_l^1$ 且 $r(k - 1)$ 是 $\tilde{F}_l^2$，那么 $y_l = w_l$

其中，$w_l$ 是一个清晰值 +1 或 -1，由下式确定：
$w_i =
\begin{cases}
+1, & \hat{r}(k) \in R^+ \
-1, & \hat{r}(k) \in R^-
\end{cases}$

对于 T1 规则，使用高斯 MF 作为 $F_l^1$ 和 $F_l^2$；对于 IT2 规则，使用例 6.17 中的高斯主 MF 作为 $\tilde{F}_l^1$ 和 $\tilde{F}_l^2$，其中 $r_l^k \approx r_e$。前件 $\tilde{F}_l^1$（$\tilde{F}_l^2$）的主 MF 的均值范围对应于图 10.17d 中所示的第 $l$ 个聚类的水平（垂直）投影。

由于均衡和分类之间的同构性，T1 和 IT2 FAF 的计算公式可以分别从相关章节轻松获得。所有 MF 的均值参数使用聚类过程进行估计，该过程应用于一些训练数据，因为这种过程计算简单。为了完成 MF 的指定，还需要加性高斯噪声（AGN）$e(k)$ 的标准差 $r_e$ 的值。研究表明，均衡器性能对 $r_e$ 的值不太敏感，因此在以下模拟中假设 $r_e$ 的值是确切已知的，当然，$r_e$ 也可以在调优过程中使用一些训练数据进行估计。

1.2 模拟与结论

将单例 T1 和单例 IT2 FAF 与 K 近邻分类器（NNC）进行比较，用于对时变非线性信道进行均衡。模拟中，均衡器的抽头数 $p$ 选择为等于信道的抽头数 $n + 1$，其中 $n = 1$，即 $p = n + 1 = 2$。规则数等于聚类数，即 $2p + n = 8$。

使用长度为 1000 的序列 $s(k)$ 进行实验。前 121 个符号用于训练（即聚类），其余 879 个用于测试。训练序列确定了前件 MF 的参数。训练后，T1 和 IT2 FAF 的参数固定，然后进行测试。

• 实验一 ：将信噪比（SNR）固定在 20 dB，对噪声水平 $b$ 的八个不同值（从 $b = 0.04$ 到 $b = 0.32$，以 0.04 的等增量）进行模拟，并将 $d$ 设置为 0。对每个 $b$ 值进行 100 次蒙特卡罗模拟，其中在每个实现中，信道系数和 AGN 都是不确定的。绘制 100 次蒙特卡罗实现的误码率（BER）的均值和标准差。
• 实验二 ：将 $b$ 固定在 0.1，对五个不同的 SNR 值（从 SNR = 15 dB 到 SNR = 25 dB，以 2.5 dB 的等增量）进行模拟，并再次将 $d$ 设置为 0。对每个 SNR 值进行 100 次蒙特卡罗模拟，其中在每个实现中，信道系数和 AGN 都是不确定的。绘制 100 次蒙特卡罗实现的 BER 的均值和标准差。

从模拟结果可以得出以下结论：
| 比较项目 | 结论 |
| ---- | ---- |
| BER 均值 | IT2 FAF 的性能优于 T1 FAF 和 NNC。 |
| 特定条件下性能 | 当 SNR = 20 dB 且 $b \geq 0.12$ 时，NNC 的性能与 T1 FAF 大致相同，但当 $b < 0.12$ 时，T1 FAF 的性能优于 NNC。无论 $b$ 为何值，IT2 FAF 的性能总是优于 NNC。 |
| BER 标准差 | IT2 FAF 比其他两个均衡器对 AGN 更鲁棒，T1 FAF 也比 NNC 更鲁棒。 |

这些观察结果表明，所设计的 IT2 FAF 作为时变非线性信道的良好横向均衡器非常有前景，因为 IT2 FAF 允许在区间二型模糊集（IT2 FS）的框架内对信道状态的不确定性质进行建模。

2. 区间二型模糊逻辑控制

2.1 什么是区间二型模糊逻辑控制器（FLC）

区间二型模糊系统可以用作 IT2 FLC，其去模糊化输出可以用作控制系统中执行器的命令。

实际控制系统（包括模糊逻辑控制系统）面临多种不确定性来源，除了已知的不确定性外，IT2 FLC 还受到以下因素的影响：
- 语言不确定性 ：规则前件和后件的语言标签中使用的词语的含义可能是不确定的，即不同的 FLC 设计者对词语的理解可能不同。
- 专家意见不一致 ：专家并不总是意见一致，他们通常会为相同的前件提供不同的后件。对专家的调查通常会导致规则后件的可能性直方图，该直方图表示规则后件的不确定性。

在 IT2 FLC 中，所有这些不确定性都通过规则的前件和/或后件的不确定度（FOU）以及模糊化器的类型进行建模。与 T1 FLC 一样，IT2 FLC 也是可变结构控制器，并且具有 Mamdani 和 TSK 两种架构。

使用 IT2 FS 表示 FLC 的输入和输出可以导致更小的 FLC 规则库，因为 IT2 FS 的 FOU 所表示的 MF 不确定性使得 IT2 MF 能够以更少的术语覆盖与 T1 FS 相同的范围。这种规则减少（以更复杂的 MF 为代价）随着 FLC 输入数量的增加而增加。此外，IT2 FLC 可能比其 T1 对应物提供更平滑的控制表面，特别是在稳态附近的区域。IT2 FLC 可以实现比 T1 FLC 更复杂的输入 - 输出关系。

2.2 区间二型模糊 PID 控制

区间二型模糊 PID（IT2 FPID）控制器的一般结构与传统模糊 PID 控制器类似。它使用对称的 3×3 规则库，其中 $\tilde{N} =$ 负，$\tilde{Z} =$ 零，$\tilde{P} =$ 正，$NB =$ 负大，$NM =$ 负中，$PM =$ 正中，$PB =$ 正大，$Z =$ 零。

IT2 FLC 的规则结构为（$l = 1, \ldots, 9$）：
$\tilde{R}_l^Z$：如果 $E$ 是 $\tilde{F}_l^1$ 且 $\Delta E$ 是 $\tilde{F}_l^2$，那么 $U$ 是 $G_l$

其中，$E$ 和 $\Delta E$ 由三个重叠的 FOU 描述，$G_l$ 是清晰的单例。

实现了以下四种 IT2 FPID 控制器，它们都使用单例模糊化和乘积蕴含：
- Mamdani 和集中心型约简 + 去模糊化（Mamdani: COS TR + D，在下图中称为“KM”）
- WM UB 近似型约简 + 去模糊化（WM UB）
- NT 直接去模糊化（NT）
- BMM 直接去模糊化（BMM）

对于三个 FOU 参数 $(a, b, c)$，通过对 Mamdani: COS TR + D 的所有 FOU 参数进行调优得到，分别为 $a_E = c_E = 0.2$，$b_E = 0.9$，$a_{\Delta E} = c_{\Delta E} = 0.3$，$b_{\Delta E} = 0.9$。通过这种方式选择参数，FPID 控制器的控制表面是对称的。

以下是 IT2 FPID 控制器的规则库表格：
| $E\backslash\Delta E$ | $\tilde{N}$ | $\tilde{Z}$ | $\tilde{P}$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $\tilde{N}$ | $\tilde{R}_1^Z: U = NB = -1$ | $\tilde{R}_2^Z: U = NM = -0.5$ | $\tilde{R}_3^Z: U = Z = 0$ |
| $\tilde{Z}$ | $\tilde{R}_4^Z: U = NM = -0.5$ | $\tilde{R}_5^Z: U = Z = 0$ | $\tilde{R}_6^Z: U = PM = 0.5$ |
| $\tilde{P}$ | $\tilde{R}_7^Z: U = Z = 0$ | $\tilde{R}_8^Z: U = PM = 0.5$ | $\tilde{R}_9^Z: U = PM = 1$ |

下面是实验流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[实验准备] --> B[训练数据]
    B --> C[确定参数]
    C --> D[实验一: 固定SNR, 改变b]
    C --> E[实验二: 固定b, 改变SNR]
    D --> F[蒙特卡罗模拟]
    E --> F
    F --> G[记录BER均值和标准差]
    G --> H[分析结果得出结论]

接下来将继续比较 IT2 - FPID 与 T1 - FPID 和 PID 控制器的性能，并分析控制表面的特点。

时变非线性数字均衡与区间二型模糊逻辑控制（续）

2. 区间二型模糊逻辑控制（续）

2.3 模拟结果（IT2 - FPID 与 T1 - FPID 和 PID 的比较）

这里比较基于内模控制（IMC）设计的 IT2 - FPID、T1 - FPID 和 PID 控制器的性能，这些控制器是为一阶加时滞标称过程设计的，其参数为：$K = 1$，$L = 1$ 和 $T = 1$。此外，为了检验这两个控制器的鲁棒性，还考虑了以下扰动过程：
- 扰动过程 1：$K = 1.4$，$L = 1.2$ 和 $T = 1.2$
- 扰动过程 2：$K = 0.6$，$L = 2$ 和 $T = 0.9$

六种情况下的阶跃响应如图所示，超调量（OS）、调节时间（$T_s$）和积分绝对误差（IAE）值如下表所示：
| 控制器 | 标称过程 | | | 扰动过程 1 | | | 扰动过程 2 | | |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| | OS(%) | $T_s$(s) | IAE | OS(%) | $T_s$(s) | IAE | OS(%) | $T_s$(s) | IAE |
| PID | 28.1 | 6.3 | 19.5 | 84.3 | 18.8 | 43.1 | 43.6 | 14.0 | 43.9 |
| T1 - FPID | 0.0 | 4.8 | 19.8 | 29.9 | 7.6 | 23.9 | 14.7 | 10.5 | 35.6 |
| IT2 - FPID - KM | 0.0 | 6.1 | 20.6 | 28.3 | 4.0 | 22.3 | 9.6 | 7.8 | 33.8 |
| IT2 - FPID - WM UB | 0.0 | 6.6 | 21.0 | 26.8 | 4.9 | 22.4 | 9.8 | 8.1 | 34.1 |
| IT2 - FPID - NT | 0.0 | 6.1 | 20.4 | 28.9 | 4.5 | 22.3 | 12.8 | 8.4 | 34.8 |
| IT2 - FPID - BMM | 0.0 | 6.6 | 21.0 | 27.9 | 4.9 | 22.4 | 10.2 | 8.2 | 34.3 |

从表中可以清晰地看出：
- 对于标称过程，基于 IMC 的 T1 - FPID 控制器产生的控制性能优于 IT2 和传统 PID 控制器（除了 IAE 比传统 PID 控制器略大）。它与四个 IT2 FPID 控制器的超调量均为 0%，但其调节时间和 IAE 小于所有 IT2 FPID 控制器。
- 从阶跃响应图和表格数据可以明显看出，T1 和 IT2 FPID 控制器比传统 PID 控制器对标称过程的变化更具鲁棒性，这体现在它们的阶跃响应振荡要小得多。通过比较 T1 和四个 IT2 FPID 控制器的性能指标，可以得出以下结论：
- 对于扰动过程 1：
- 超调量最小的是 WM UB，四个 IT2 FPID 控制器的性能均优于 T1 FPID 控制器。
- 调节时间最小的是 KM，四个 IT2 FPID 控制器的性能均优于 T1 FPID 控制器。
- IAE 最小的是 KM 和 NT，四个 IT2 FPID 控制器的性能均优于 T1 FPID 控制器。
- 对于扰动过程 2：
- 超调量最小的是 KM，四个 IT2 FPID 控制器的性能均优于 T1 FPID 控制器。
- 调节时间最小的是 KM，所有 IT2 FPID 控制器的性能均优于 T1 FPID 控制器。
- IAE 最小的是 KM，四个 IT2 FPID 控制器的性能均优于 T1 FPID 控制器。
- 对于两个扰动过程：
- 超调量最小的分别是 WM UB（扰动过程 1）或 KM（扰动过程 2）。
- 调节时间最小的是 KM。
- IAE 最小的是 KM（两个扰动过程）（NT 仅在扰动过程 1 中给出相同的值）。

2.4 控制表面分析

给出了五个 FPID 控制器的控制表面。比较 T1、COS TR + D、WM UB、NT 和 BMM 控制表面，可以得到以下观察结果：
1. 四个表面的相邻端点相同，只是相邻端点的连接方式不同。
2. T1 FLC 表面的相邻端点由直线连接。
3. 四个 IT2 FLC 表面的相邻端点由曲线连接，每条曲线在相邻端点之间提供不同类型的插值，因此可以说 IT2 FLC 表面比 T1 FLC 表面更平滑。
4. IT2 Mamdani FLC（COS TR + D）曲线的曲率变化最大，其次是 IT2 WM UB FLC 或 IT2 BMM FLC，而 IT2 NT FLC 曲线的变化最小。
5. IT2 WM UB、NT 和 BMM 的相邻端点曲线也可以解释为平滑 IT2 Mamdani FLC（COS TR + D）相邻端点曲线更剧烈变化的不同方式。
6. IT2 WM UB 和 IT2 BMM 表面看起来非常相似，这与它们之间的公式联系一致。

为了研究这些控制表面的差异，绘制了 T1 和 IT2 控制表面之间的绝对差异图，以及一些 IT2 控制表面之间的差异图。从这些图中可以得出以下结论：
7. 所有 IT2 FLC 表面与 T1 FLC 表面的绝对差异非常明显。
8. IT2 WM UB 和 BMM FLC 表面的绝对差异看起来非常相似。
9. IT2 Mamdani:(COS TR + D) 和 WM UB 表面的绝对差异与 IT2 Mamdani:(COS TR + D) 和 BMM 表面的绝对差异看起来非常相似。
10. WM UB 和 BMM FLC 表面的绝对差异并非对于所有的 $E$ 和 $\Delta E$ 值都很小，因此在得出结论时必须谨慎。

下面是控制表面分析的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[获取控制表面数据] --> B[比较相邻端点连接方式]
    B --> C[分析曲线曲率变化]
    C --> D[观察表面相似性]
    D --> E[绘制差异图]
    E --> F[得出结论]

虽然在某些情况下没有 IT2 二阶规则分区，但 IT2 Mamdani:(COS 类型约简 + D) 的控制表面似乎比没有 IT2 二阶规则分区时预测的更具可变性。这是因为在 COS 类型约简过程中，点火区间的端点以一种未被 IT2 二阶规则分区概念考虑的方式使用，而是由 IT2 新奇规则分区的概念来解释。确定这些分区的边界公式非常复杂。

综上所述，在时变非线性数字均衡中，IT2 FAF 展现出了作为时变非线性信道均衡器的良好前景；在区间二型模糊逻辑控制中，IT2 - FPID 控制器在应对扰动过程时表现出了比 T1 - FPID 和 PID 控制器更好的鲁棒性，并且其控制表面具有独特的特性。这些结果为相关领域的实际应用提供了有价值的参考。