53、超越信念：概率、动态与意图

超越信念：概率、动态与意图

1. 知识与概率

在传统的克里普克结构中，知识和信念是二元概念，即对于一个给定的句子，主体要么相信要么不相信。然而，在现实世界中，我们常常需要表达主体对某个命题的相信程度，例如“玛丽认为明天下雨的概率大于 0.7”，甚至是更高阶的信念表述，如“比尔知道约翰以 0.9 的概率相信玛丽以大于 0.7 的概率认为明天下雨”。

1.1 多主体概率结构

为了实现这种定量的信念表示，我们引入了多主体概率结构。具体定义如下：
给定一个集合 X，设 Π(X) 是 X 上所有概率分布的类。则一个（共同先验）多主体概率结构 M 是一个元组 (W, π, I1, …, In, P)，其中：
- W 是一个非空的可能世界集合；
- π : Φ → 2^W 是一个解释，它将每个原始命题 p ∈ Φ 与 p 为真的可能世界集合 w ∈ W 相关联；
- 每个 Ii 是一个划分关系，与原始划分模型中的定义相同；
- P ∈ Π(W) 是共同先验概率。

添加概率分布并不会改变主体从某个世界 w 认为可能的世界集合，但它允许我们量化主体认为每个可能世界的可能性。在世界 w 中，主体 i 可以基于它处于划分 I(w) 这一事实来确定它处于每个 w′ ∈ I(w) 的概率。对于所有 w′ ∉ Ii(w)，有 Pi(w′ | w) = 0，对于所有 w′ ∈ Ii(w)，我们有：
Pi(w′|w) = P(w′) / ∑(v|v∈I(w)) P(v)

1.2 概率语言的语法和语义

为了对概率结构进行推理，我们定义了一种新的语言。其语法定义如下：
给定一组原