23、量子场论中的重整化群数值示例与分析

量子场论中的重整化群数值示例与分析

1. 有限体积下的线性尺度变换与RG不变量

在有限体积中，以晶格间距为单位的线性尺度 $L$ 在重整化群（RG）变换下会发生如下变换：
$L \to \frac{L}{b}$ （11.52）

若某一物理量 $Q$ 具有如下形式的行为：
$Q \propto |\beta - \beta_c|^{-\nu}$ （11.53）

我们可以构造一个近似的RG不变量 $\frac{Q L^{\nu}}{A}$。这就解释了在图10.10中，通过绘制 $\chi’ = \chi_{quant.} L^{-(1 - \eta)}$ 与 $\lambda’ = L^{1/\nu} (\lambda - 1)$ 所得到的数据塌缩现象。

2. 两态近似的数值示例

2.1 两态近似的意义

历史上，K Wilson的RG程序带来的一个全新方面是，它可以通过数值计算而非计算费曼图或幂级数来实现。一个简单的两态近似能够对临界指数 $\nu$ 给出合理的估计。这是因为转移矩阵的状态可以分为偶数部分（指标之和为偶数）和奇数部分（指标之和为奇数）。在精确解中，配分函数主要由两个主导本征值（每个部分各一个）决定，而两态近似正好适应了这一特征。此外，它还具备更精确的多态处理所具有的大部分定性特征，因此值得进行数值实现的实验。

2.2 四阶张量的性质

当指标取两个值时，四阶张量原则上有16个独立元素。然而，由于方程（7.15）的选择规则，指标之和必须为偶数，所以有8个张量元素为零。此外，由于进行了各向同性的块化处理，以及图11.5中旋转90度的对称性，有：