41、量子场论中的重整化：φ³理论示例解析

量子场论中的重整化：φ³理论示例解析

1. 非重整化理论与反项的引入

在某些维度下，理论可能会出现对数发散的情况。例如在 d = 8 维度中，就会出现这样的问题。为了消除这种奇异性，需要向 φ³拉格朗日量中添加一个反项，其形式为：
[
\mathcal{L}’_4 = - \frac{1}{4!}A_0\phi^4
]
其中 (A_0) 由特定图形（如图 16.3A）的奇异部分确定。然而，由于原拉格朗日量中并不包含 φ⁴项，这个反项无法被吸收到理论的原始参数中，从而改变了理论的结构。不过，这并不一定是灾难性的，在这个例子中，(A_0) 可以被视为一个新的参数，通过在某个固定点对 φφ 散射的测量来确定，进而预测其他点的散射情况。但新反项的出现无疑降低了理论的预测能力，并且由于该理论的指数 (I) 为正（d = 8），可以预期在更高阶会出现更多的发散，这将引入更多的反项，进一步削弱理论的预测能力。

在实际应用中，非重整化理论仅在能够通过微扰理论的前几阶获得良好估计的情况下才有用。例如，基于非线性手征模型的手征微扰理论就是一个成功的非重整化理论的例子。

2. 重整化证明的核心问题

到目前为止，讨论主要集中在“最低阶”中如何消除无穷大。重整化证明的核心问题是要表明添加有限数量的反项足以消除理论中的所有无穷大。以图 16.3 中的图为例，在 d = 6 维度中，图 16.3A 是有限的，但图 16.3B 由于发散的顶点子图而无穷大。向拉格朗日量中添加反项可以使这个顶点修正变为有限，并且将相同的反项插入到 φφ 散射盒（如图 16.3C）中，也能确保图 16.3B 和图 16.3C 是有限的。为了证明重整化性，必须证明这种方法