22、重正化群方法：原理、应用与关键技巧

重正化群方法：原理、应用与关键技巧

1. 重正化群方法的基本思想与历史视角

重正化群（RG）方法最初是在统计力学（二阶相变）和粒子物理学（渐近行为、有效理论、格点正则化）的背景下发展起来的。这一方法主要包含以下几个关键步骤：
1. 用更粗粒化的自由度取代微观自由度（如块自旋、抽取、粗粒化等）。
2. 对新变量进行重新标度，以便将新的相互作用（编码在哈密顿量或张量中）与原始的相互作用进行比较。
3. 找到由步骤1和2定义的RG变换的不动点。
4. 在不动点处将RG变换线性化，分离出相关（扩展）和无关（收缩）的方向。相关方向表征了普遍的大距离行为。

在粒子物理学中，RG思想具有极其重要的历史意义。在微扰理论的背景下，它取得了巨大的成功，非重正化相互作用被认为是无关紧要的。这是标准模型作为一个可预测理论发展和确立的关键因素。例如，布劳特 - 恩格勒特 - 希格斯机制被认为是一个可行的理论，因为它导致了电弱相互作用的重正化理论。跑动耦合常数将核尺度和对撞机尺度的物理联系起来，渐近自由为部分子模型提供了理论依据。

然而，在非微扰层面，如在格点场论中，RG方法的应用更为困难。在高能物理学的背景下，格点并非物理实体，我们需要取连续极限，这对应于RG变换的不动点（其中用格点间距表示的关联长度是无限的）。到目前为止，RG的数值实现尚未用于从特定过程中提取某些物理量，我们更多地依赖于不同间距下的蒙特卡罗模拟，并外推到零间距。

从长远的历史角度来看，积分微积分的类比是，重要性抽样就像求积法（稳健可靠），而RG不动点则像微积分基本定理（最初难以理解，但充分发展后功能强大）。

2. 粗粒化与块化

粗粒化