20、量子场论中的坐标、测地线与计算方法

量子场论中的坐标、测地线与计算方法

1. AdS3 的全局坐标

AdS3 是一个有趣的例子。其全局坐标由以下一组方程给出：
[
\begin{cases}
X_1 = R \sinh\chi \cos\phi \
X_2 = R \sinh\chi \sin\phi \
X_3 = R \cosh\chi \cos\tau \
X_4 = R \cosh\chi \sin\tau
\end{cases}
]
其中，(\chi \geq 0)，(0 \leq \phi \leq 2\pi)，(0 \leq \tau \leq 2\pi)，这组坐标能完整覆盖整个空间一次。要求(\chi \geq 0)是因为改变(\chi)的符号与(\phi \to \phi + \pi)的效果相同。

1.1 计算 AdS3 在全局坐标下的度规

通过计算可得：
(g_{\chi\chi} = 1)
(g_{\phi\phi} = \sinh^2\chi)
(g_{\tau\tau} = -\cosh^2\chi)
其余分量为零。

2. 测地线的计算

2.1 相关量的表示

能产生测地线方程的量可表示为：
(\tilde{L} \equiv g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = \eta_{AB} \dot{X}^A \dot{X}^B)
为了施加(\eta_{AB} X^A X^B = C)（(C)为常数）这一条件，需要引入拉格朗日乘子，此时考虑：