9、量子场论中的路径积分与重要抽样方法

量子场论中的路径积分与重要抽样方法

1. 引言

在量子场论的研究中，路径积分和重要抽样方法是非常重要的工具。路径积分最初由费曼提出，它将量子演化表示为连接初始和最终位置的所有路径的求和，每个路径由相应的作用量加权。而重要抽样方法则允许我们在处理大量可能的场配置时，通过选择有限数量的“重要”配置来获得良好的近似结果。

2. 路径积分基础

2.1 路径积分的基本思想

路径积分的最终目标是将量子演化表示为如下形式：
[
\langle x_f | e^{-i(t_f - t_i)H/\hbar} | x_i \rangle = \int_{\mathbf{x} i}^{\mathbf{x}_f} [d\mathbf{x}] e^{iS[\mathbf{x}]/\hbar}
]
其中，(\int {\mathbf{x}_i}^{\mathbf{x}_f} [d\mathbf{x}]) 表示对所有连接 (x_i) 和 (x_f) 的路径求和，(S[\mathbf{x}]) 是特定路径的作用量。为了近似这个求和，我们可以将演化算符表示为 (N_t) 个短时间演化的乘积，每个时间步长为 (\Delta t = \frac{t_f - t_i}{N_t})，即：
[
e^{-i(t_f - t_i)H/\hbar} = (e^{-i\Delta t H/\hbar})^{N_t}
]
然后在每个连续步骤之间插入单位算符 (\int dx |x \rangle \langle x|)。

2.2 自由粒子的量子力学路径积分

对于