6、量子场论中的正则量子化：理论与应用

量子场论中的正则量子化：理论与应用

1. 一维谐振晶体的正则量子化

在量子场论的研究中，一维谐振晶体是一个基础且重要的模型。考虑一个具有 $N_s$ 个位点的一维谐振晶体，其拉格朗日量为：
[
L = \sum_{j = 1}^{N_s} \left[\frac{1}{2} \dot{q} j^2 - \frac{1}{2} A (q {j + 1} - q_j)^2 - \frac{1}{2} B q_j^2\right]
]
这里采用了周期性边界条件 $q_{N_s + 1} = q_1$（形成一个环）。由此可得到 $N_s$ 个欧拉 - 拉格朗日运动方程：
[
\ddot{q} j = A (q {j + 1} + q_{j - 1} - 2 q_j) - B q_j
]
通过平面波假设 $q_j(k_l) = \exp[-i (\omega_l t - k_l j)]$ 来求解这些方程，其中 $k_l = \frac{2 \pi l}{N_s}$，$l$ 为整数以满足周期性边界条件。由于 $j$ 为整数，$l$ 平移 $N_s$ 对 $q_j$ 无影响，所以仅有 $N_s$ 个解，结果为：
[
\omega_l^2 = B + 2 A (1 - \cos k_l)
]
当 $k_l$ 较小时，将余弦函数展开可得 $\omega_l^2 - A k_l^2 \simeq B$，这与 1 + 1 维的相对论质壳条件 $E^2 - p^2 = m^2$（$c = 1$ 单位制）相似。

接下来使用哈密顿形式来讨论该模型的量子化。定义 $p