问题描述
NK河的两岸各有N个城市,且北岸的每一个城市与南岸的某个城市是友好城市,而且对应的关系是一一对应的。现在要求在两个个友好城市之间建立一条航线,但所有航线都不能相交,因此,就不可能给所有的友好城市建立航线。问题:当城市间的友好关系建立以后,选择一种修建航线的方案,使得能建最多的不相交的航线?
输入格式
第一行,一个整数N,(N<=100000)
第二行,N个空格间隔的整数,表示第i个数表示北岸的编号i个城市对应南岸的友好城市的编号
输出格式
一行,一个整数,表示最大航线数
样例输入
样例输入1:
7
4 3 5 7 1 6 2
样例输入2:
9
5 8 9 2 3 1 7 4 6
样例输出
样例输出1:
3
样例输出2:
4
提示
注意:N大的变态
第一眼一看:这是一道DP。但怎么推出状态转移方程呢?
根据题目,可以看出:
[1, 4], [3, 5], [4, 7]
[2, 3], [3, 5], [4, 7]
[1, 4], [3, 5], [6, 6]
[2, 3], [3, 5], [6, 6]
这四种都是最佳情况,最多可建立3条航道
已知北岸是递增序列,我们来看南岸:
[4, 5, 7]
[3, 5, 7]
[4, 5, 6]
[3, 5, 6]
也都是递增序列
so,这道题就是求最长不下降子序列 :当i < j, a[i] < a[j] 或 i > j, a[i] > a[j]的情况下航线不相交
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
int a[5005], f[5005], ans;
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
f[i] = 1;
}
for (int i = n; i > 0; i--) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
if (a[i] < a[j]) {
f[i] = max(f[j] + 1, f[i]);
}
ans = max(f[i], ans);
}
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
!但是 !
“(N<=100000)” “注意:N大的变态”
题目名称
渡轮问题(变态版)
判题结果
Time Limit Exceeded
语言
C++
总用时
3025 MS
最大用时
1060 MS
最大内存
8856 KB
总得分
40
测试点 1
AC 时间: 0 MS 空间: 0 KB 得分: 8
测试点 2
TLE 时间: 1060 MS 空间: 8836 KB 得分: 0
测试点 3
AC 时间: 0 MS 空间: 0 KB 得分: 8
测试点 4
AC 时间: 0 MS 空间: 0 KB 得分: 8
测试点 5
AC 时间: 0 MS 空间: 0 KB 得分: 8
测试点 6
AC 时间: 0 MS 空间: 0 KB 得分: 8
测试点 7
WA 时间: 0 MS 空间: 0 KB 得分: 0
测试点 8
TLE 时间: 1029 MS 空间: 8856 KB 得分: 0
测试点 9
TLE 时间: 936 MS 空间: 8528 KB 得分: 0
代码长度
390 B
这样算会TLE的~
那么,首先讲一个更暴力的算法 (别着急问为什么)
1.状态:f[i] 表示以a[i]结尾的最长上升子序列长度
检查是否有 f[j] == x && a[j] < a[i] 的j的存在,如果有:f[i] = x + 1并停止枚举x
2.时间复杂度
枚举x时,检查j: O(n)
枚举f[i]:枚举x,i —— O(n ^ 2)
于是可以计算出时间复杂度为O(n ^ 3)
更加TLE......冷静!现在,我们来优化这个算法
1.优化枚举x的速度
假定我们知道f[i]的真实值:
if (x >= f[i]) : 一定找不到 (f[j] == x && a[j] < a[i]) 的 j;
else : 一定能找到
你想到了什么?
bfs,dfs......
二分查找啊!
int x = lower_bound(g, g + ans + 1, a) - g;
此时的时间复杂度: O(n ^ 2 log n)
还是TLE...... (n ^ 2 log n 很明显大于 n ^ 2)
冷静!还能优化!、
2.优化枚举j的速度
空间换时间,设g[x]表示f[j] == x的所有j中,最小的a[j]的值
于是当检查是否有符合条件的j是,只需判断g[x] 和 a[i]的关系
int x = lower_bound(g, g + ans + 1, a) - g;
ans = ans < x ? x : ans;
时间复杂度:O(n log n)
不会TLE了
怎么写程序呢?
变量m记录g数组的有效部分长度,一开始g[0]要初始化成很小的树
最终,m就是答案
int x = lower_bound(g, g + ans + 1, a) - g;
ans = ans < x ? x : ans;
g[x] = a;
想要完整代码?没门!!!
THE END