OI模板矩阵运算

最新推荐文章于 2025-05-04 20:55:54 发布

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分类专栏： OI模板文章标签：算法

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OI模板矩阵运算

矩阵乘法

const int N = 1, Mod = 1e9 + 7;
struct Matrix{
	int n, m;
	long long a[N][N];
	Matrix(int x, int y, int op) : n(x), m(y) {
		if(op >= 0){
			for(int i = 1; i <= n; ++ i)
				for(int j = 1; j <= m; ++ j)
					a[i][j] = op;
		} else if(op == -1){//单位矩阵 
			memset(a, 0, sizeof(a));
			for(int i = 1; i <= n; ++ i)
				a[i][i] = 1;
		}
	}
	Matrix() {}
	void read(int x, int y){
		n = x, m = y;
		for(int i = 1; i <= n; ++ i)
			for(int j = 1; j <= m; ++ j)
				scanf("%lld", &a[i][j]);
		return ;
	}
	void print(){
		for(int i = 1; i <= n; ++ i){
			for(int j = 1; j <= m; ++ j)
				printf("%lld ", a[i][j]);
			puts("");
		}
		return ;
	}
	Matrix operator * (const Matrix &b) const {
		Matrix c(n, b.m, 0);
		for(int i = 1; i <= n; ++ i)
			for(int j = 1; j <= b.m; ++ j)
				for(int k = 1; k <= m; ++ k)
					c.a[i][j] += a[i][k] % Mod * b.a[k][j] % Mod,
					c.a[i][j] = (c.a[i][j] + Mod) % Mod;
		return c;
	}
};

例题：Libre OJ #100. 矩阵乘法。

矩阵快速幂

inline Matrix QuickPow(Matrix a, long long k){
	Matrix ans(a.n, a.n, -1);//初始化为单位矩阵
	while(k){
		if(k & 1) ans = ans * a;
		a = a * a;
		k >>= 1;
	}
	return ans;
}

另一种写法：

inline Matrix QuickPow(Matrix a, long long k){
	Matrix ans = a; -- k;
	while(k){
		if(k & 1) ans = ans * a;
		a = a * a;
		k >>= 1;
	}
	return ans;
}

例题：Luogu P3390 【模板】矩阵快速幂。

矩阵加速线性递推式

斐波那契数列

$Fib_n = \begin{cases} 1~(n\leq2) \\ Fib_{n-1}+Fib_{n-2}~(n \geq 3) \end{cases}$

$\begin{bmatrix} Fib_{2}&Fib_{1} \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^{n-2} = \begin{bmatrix} Fib_{n}&Fib_{n-1} \end{bmatrix}$

inline long long Fibonacci(long long k){
	if(k <= 2) return 1;
	Matrix Ans(1, 2, 0), Base(2, 2, 0);
	Ans.a[1][1] = Ans.a[1][2] = 1;
	Base.a[1][1] = Base.a[1][2] = Base.a[2][1] = 1;
	Base.a[2][2] = 0;
	return (Ans * QuickPow(Base, k - 2)).a[1][1]; 
}

例题：Luogu P1962 斐波那契数列。

广义斐波那契数列

$Fib_n = \begin{cases} a_1~(n = 1) \\ a_2~(n = 2) \\ p * Fib_{n-1} + q * Fib_{n-2}~(n \geq 3) \end{cases}$

$\begin{bmatrix} a_{2}&a_{1} \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} p&1 \\ q&0 \end{bmatrix}^{n-2} = \begin{bmatrix} Fib_{n}&Fib_{n-1} \end{bmatrix}$

例题：Luogu P1349 广义斐波那契数列。

Luogu P1939 【模板】矩阵加速（数列）

$a_n = \begin{cases} 1~(n\in \{1,2,3\}) \\ a_{n-1}+a_{n-3}~(n \geq 4) \end{cases}$

$\begin{bmatrix} a_3&a_2&a_1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}^{n-3} = \begin{bmatrix} a_n&a_{n-1}&a_{n-2} \end{bmatrix}$

inline long long Getkth(long long k){
	if(k <= 3) return 1;
	Matrix Ans(1, 3, 0), Base(3, 3, 0);
	Ans.a[1][1] = Ans.a[1][2] = Ans.a[1][3] = 1;
	Base.a[1][1] = Base.a[1][2] = Base.a[2][3] = Base.a[3][1] = 1;
	return (Ans * QuickPow(Base, k - 3)).a[1][1]; 
}