矩阵分析复习

本文深入探讨了矩阵理论的核心概念,包括酉矩阵、Hermite矩阵、正规矩阵的定义及其性质,详细解析了正定矩阵的等价叙述,酉矩阵的特殊性质,以及Hermite矩阵在复合同下的标准型。此外,还介绍了Rayleigh商的概念,矩阵的范数、谱半径,并讨论了矩阵函数的表示方法,如Jordan表示、Lagrange-Sylvester内插多项式表示等。

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第三章

定理

  1. 酉矩阵:AAH=AHA=EAA^H=A^{H}A=EAAH=AHA=E,那么AAA是酉矩阵。是正交矩阵ATA=AAT=EA^TA=AA^T=EATA=AAT=E的扩展。

  2. Hermite矩阵:也叫HHH-阵,AH=AA^H=AAH=A,那么AAA叫做Hermite矩阵。
    Hermite矩阵一定可以被酉变换为一个对角矩阵,且特征值均为实数。

  3. 正规矩阵:AAH=AHAAA^H=A^{H}AAAH=AHA,那么AAA是正规矩阵。HHH-阵,反HHH-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵全部都是正规矩阵。

  4. 有关正定矩阵的等价叙述:
    - f(X)f(X)f(X)是正定的
    - 对于任意n阶可逆矩阵PPP都有PHAPP^{H}APPHAP为正定矩阵
    - A的n个特征值都大于零
    - 存在n阶可逆矩阵PPP使得PHAP=IP^{H}AP=IPHAP=I
    - 存在n阶可逆矩阵QQQ使得A=QHQA=Q^{H}QA=QHQ
    - 存在正线上三角矩阵RRR使得A=RHRA=R^{H}RA=RHR且此分解唯一.

  5. 酉矩阵的行列式值为1,且所有特征值的模长为1,即∣λi∣=1|\lambda_i|=1λi=1

  6. Hermite矩阵偶在复合同下的标准型:设A,BA,BAB均为n阶Hermite-阵,且B是正定的。那么必存在P∈Cnn×nP\in C_{n}^{n\times n}PCnn×n使得
    PHAP=[λ1λ2⋱λn] P^{H}AP= \left[ \begin{matrix} \lambda_1 &&&\\ &\lambda_2 \\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \\ \end{matrix} \right] PHAP=λ1λ2λn
    PHBP=In×nP^HBP=I_{n\times n}PHBP=In×n同时成立,其中λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_nλ1,λ2,...,λn是与PPP无关的实数。

  7. Rayleigh商:设AAA为一个Hermite矩阵,那么我们称R(X)=XHAXXHX,(X∈Cn,X≠0)R(X)=\frac{X^HAX}{X^HX},(X\in C^n, X\ne 0)R(X)=XHXXHAX,(XCn,X̸=0)为Hermite矩阵AAA的Rayleigh商。注意XXX是一个n维向量。

题目

  1. 证明:设AAA是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则A=IA=IA=I
  2. 已知矩阵
    (1)A=[3083−16−20−5] A= \left[ \begin{matrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5 \\ \end{matrix} \right] \tag{1} A=332010865(1)
    试求酉矩阵UUU使得UHAUU^HAUUHAU为上三角矩阵.

第五章

定理

  1. Holder不等式:设α=[a1,a2,...,an],β=[b1,b2,...,bn]∈Cn\alpha =[a_1,a_2,...,a_n], \beta=[b_1,b_2,...,b_n]\in C^nα=[a1,a2,...,an],β=[b1,b2,...,bn]Cn

    ∑i=1n∣aibi∣≤(∑i=1n∣ai∣p)1/p(∑i=1n∣bi∣q)1/q \sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|\leq(\sum_{i=1}^{n}|a_i|^p)^{1/p}(\sum_{i=1}^{n}|b_i|^q)^{1/q} i=1naibi(i=1naip)1/p(i=1nbiq)1/q
    其中p>1,q>1p>1, q>1p>1,q>11/p+1/q=11/p+1/q=11/p+1/q=1.
  2. 矩阵的Frobenious范数,表示为∣∣A∣∣F||A||_FAF。计算公式为
    ∣∣A∣∣F=(∑i=1m∑j=1n∣aij∣2)(1/2) ||A||_F=(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2)^{(1/2)} AF=(i=1mj=1naij2)(1/2) 即为矩阵中所有元素的平方和开根号。
  3. 诱导范数:列和范数,谱范数,行和范数
  4. 矩阵的谱半径:矩阵AAA所有特征值中绝对值最大的就是矩阵AAA的谱半径。
  5. 收敛与绝对收敛:绝对是指绝对值

题目

  1. 证明范数:非负性,齐次性,三角不等式,矩阵乘法相容性

第六章

定理

  1. Hamilton-Cayley定理:已知A∈Cn×n,f(λ)A\in C^{n\times n},f(\lambda)ACn×nf(λ)为其特征多项式,那么就有f(A)=On×nf(A)=O_{n\times n}f(A)=On×n
  2. 最小多项式:在AAA的零化多项式中,次数最低且首项系数为AAA的最小多项式,通常记为m(λ)m(\lambda)m(λ)
  3. 矩阵函数f(A)f(A)f(A)的Jordan表示

题目

  1. 给出多项式f(x)f(x)f(x) 求矩阵函数f(A)f(A)f(A)
  2. 求A的最小多项式m(λ)m(\lambda)m(λ)
  3. 求矩阵函数f(A)f(A)f(A)的Lagrange-Sylvester内插多项式表示:
    先由矩阵AAA的最小多项式ΨA(x)\Psi_A(x)ΨA(x)写出Φ1(x),Φ2(x),...Φk(x)\Phi_1(x),\Phi_2(x),...\Phi_k(x)Φ1(x),Φ2(x),...Φk(x);然后再求出a11,a12,...,a1d1;a21,a22,a2d2;ak1,ak2,akdka_{11},a_{12},...,a_{1d_1};a_{21},a_{22},a_{2d_2};a_{k1},a_{k2},a_{kd_k}a11,a12,...,a1d1a21,a22,a2d2ak1,ak2,akdk;最后写出插值多项式表示
    f(A)=∑k=1s[ak1E+ak2(A−λkE)+ak3(A−λkE)2+......+akdk(A−λkE)dk−1]Φk(A) f(A)=\sum_{k=1}^{s}[a_{k1}E+a_{k2}(A-\lambda_kE)+a_{k3}(A-\lambda_kE)^2+......+a_{kd_k}(A-\lambda_kE)^{d_k-1}]\Phi_k(A) f(A)=k=1s[ak1E+ak2(AλkE)+ak3(AλkE)2+......+akdk(AλkE)dk1]Φk(A)
    其中s是最小多项式中因子的数量。dk(其中k=1,2,...,s)d_k(其中k=1,2,...,s)dk(k=1,2,...,s)是每个因子的次数。
    也就是说每个因子都有dkd_kdk个系数,就是说一共有∑k=1sdk=m\sum_{k=1}^{s}d_k=mk=1sdk=m个系数
  4. 求矩阵函数f(A)f(A)f(A)的多项式表示:p(x)p(x)p(x)比最小多项式低一阶。最小多项式的阶数∑k=1sdk=m\sum_{k=1}^{s}d_k=mk=1sdk=m,那么p(x)p(x)p(x)就是一个m-1阶多项式。
    先求出最小多项式m(x)m(x)m(x)
    p(k)(λi)=f(k)(λi)p^(k)(\lambda_i)=f^(k)(\lambda_i)p(k)(λi)=f(k)(λi)(其中k表示k阶导数)将p(x)p(x)p(x)的系数用f(k)(λ)f^{(k)}(\lambda)f(k)(λ)表示
  5. 求矩阵函数的幂级数表示:
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