题解 [ABC020D] LCM Rush

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该博客是 [ABC020D] LCM Rush 的题解。题目要求给定 n、k，求 i 从 1 到 n 的 lcm(i,k) 之和。通过公式转换，将问题转化为给定 m、p 求 i 从 1 且与 p 互质到 m 的和，可使用容斥原理求解，还给出了具体的容斥计算方式。

题解 [ABC020D] LCM Rush

题意：给 $n, k$ ，求 $∑i=1nlcm⁡(i,k)\sum\limits_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,k)$ 。 $1≤n,k≤1091\leq n,k\leq 10^9$ 。

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,k)&=\sum_{i=1}^n \dfrac{ik}{\gcd(i,k)}\\ &=k\sum_{i=1}^n \dfrac{i}{\gcd(i,k)} \end{aligned}$

枚举 $g=gcd⁡(i,k)g=\gcd(i,k)$ ，

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,k)&=k\sum_{g|k}\sum_{i=1,(i,\frac kg)=1}^{\lfloor\frac ng\rfloor}i \end{aligned}$

现在问题变成了，给定 $m, p$ ，求 $∑i=1,(i,p)=1mi\sum\limits_{i=1,(i,p)=1}^mi$ 。可以容斥求解。

具体地，枚举所有 $q ∣ p$ ， $q$ 每个质因子次数不大于 $1$ ，则

$\sum\limits_{i=1,(i,p)=1}^mi=\sum_q q\times \left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac mq\rfloor}i\right)\times val_q$

其中当 $q$ 的质因子个数为偶数时 $val_q=1$ ，否则 $val_q=-1$ 。（ $1$ 不算质因子）

/*
    name: LCM Rush
    id:   AT_abc020_d
    date: 2023/01/25
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll P = 1e9 + 7;
int n, k, top;
ll ans = 0;

int calc(int p){
	int sum = 1;
	for(int i = 2; i * i <= p; ++ i){
		if(p % i == 0){
			++ sum;
			p /= i;
		}
		if(p % i == 0){
			return 0;	
		}
	}
	if(p != 1){
		++ sum;
	}
	return (sum&1) ? 1 : -1;
}

#define adall(k) ((ll)(k) * ((k)+1) / 2)

ll solve(int g){
	int p = k / g, m = n / g;
	ll cur = 0;
	for(int q = 1; q * q <= p; ++ q){
		if(p % q == 0){
			cur += calc(q) * q * adall((int)m/q);
			int r = p/q;
			if(r != q){
				cur += calc(r) * r * adall((int)m/r);
			}
		}
	}
	return cur % P;
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int g = 1; g * g <= k; ++ g){
		if(k % g != 0){
			continue;
		}
		ans += solve(g);
		if(g * g != k){
			ans += solve(k / g);
		}
		ans %= P;
	}
	printf("%lld\n", ans * k % P);
	return 0;
}