【最优化理论】线性规划的标准模型与基本假定

最新推荐文章于 2024-11-04 23:51:46 发布

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#线性代数 #算法 #矩阵

线性规划标准模型

在最优化理论中考虑的线性规划标准模型为：

$\max ~~C^TX ~~~ \\ \text{s.t.} ~~AX = \vec{b} \\ ~~~~~~~~~~X ≥ 0$

其中， $\in R^n,X \in R^n,A \in R^{m\times n}$ ，并假定：

系数矩阵 $A$ 的列数大于其行数，即 n > m；
$A$ 的行向量线性无关，即A行满秩。

$max C^TX$ 是该线性规划问题的目标函数， $\vec{b}$ 是约束条件中的等式约束， $X \geq 0$ 是对决策变量的非负性约束。

一般模型与标准模型的转换

对于不等式约束，通过增加松弛变量，变为等式约束；
如果某个变量的范围是 $[−∞,+∞][-\infin, +\infin]$ ，则将其转换为两个非负变量相减，如 $x_1= x_1^+ - x_1^-$ ，其中 $−∞<x1<+∞,x1+≥0,x1−≥0-\infin < x_1 < +\infin, x_1^+ ≥ 0, x_1^- ≥ 0$ .

线性规划标准模型的基本假定

系数矩阵A的列数大于其行数，即 n > m

如果 n < m, 由于 $a⃗1,a⃗2,...,a⃗m\vec{\bm{a}}_1, \vec{\bm{a}}_2, ..., \vec{\bm{a}}_m$ 是 m 个 n维的向量，不可能线性无关；如果 n = m， $A$ 是行向量线性无关的方阵，因此可逆，满足 $\vec{b}$ 的只有一个向量 $X^=A−1b⃗\hat{X} = A^{-1}\vec{b}$ ，这种情况就不需要优化了。

系数矩阵A的行向量线性无关

系数矩阵 $A$ 的行向量为 $a⃗1T,a⃗2T,...,a⃗mT\vec{\bm{a}}_1^T, \vec{\bm{a}}_2^T,..., \vec{\bm{a}}_m^T$ ，如果这些行向量不满足线性无关，那么对于某个行向量，比如 $a⃗mT\vec{\bm{a}}_m^T$ 可以由其他的行向量线性表示，即：

$\vec{\bm{a}}_m^T = \lambda_1 \vec{\bm{a}}_1^T + \lambda_2 \vec{\bm{a}}_2^T + ... + \lambda_{m-1} \vec{\bm{a}}_{m-1}^T$

则对任何满足前 m-1 个约束的优化变量 $X$ 都有下式成立：

$\vec{\bm{a}}_m^T X= \lambda_1 \vec{\bm{a}}_1^TX + \lambda_2 \vec{\bm{a}}_2^TX + ... + \lambda_{m-1} \vec{\bm{a}}_{m-1}^TX = \lambda_1b_1 + \lambda_2b_2 + ... + \lambda_{m-1}b_{m-1}$

当 $bm=λ1b1+λ2b2+...+λm−1bm−1b_m = \lambda_1b_1 + \lambda_2b_2 + ... + \lambda_{m-1}b_{m-1}$ 时，第m个约束不起作用，因此可以删除，而若该等式不满足，则原问题无可行解。综上，只有当系数矩阵 $A$ 的行向量线性无关时，该线性规划问题才有意义。