人工智能的数学特性

        AI的本质是一个数学问题的求解，你相信么？其道理来自，作为AI算法的计算机程序，本身就是一个数学求解问题，其低层实质上是一个一切符号01化后的数学演算，其上层表现为多程序步骤的函数求解。

       既然AI求解是可供算法化的数学模型，那么在人工智能之前，数学和算法已经存在上千年了，它们又是否可以界定为人工智能呢？很显然，数学是人类智慧的结晶，虽然受到哥德尔不完备定理的限制，大多数数学问题还是可以实现算法化，即由计算机来处理的。

       笛卡尔发明笛卡尔积，将空间和几何图案代数化，牛顿发现万有引力定理，并用数学公式研究力学，用微积分表达运动规律，布尔发明布尔代数，将逻辑推导代数化，又得到弗雷格和罗素的完善和推广，加上化学早就实现了代数表达和定量计算，计算机的发明，更进一步实现了计算过程和信息处理的代数化，这一切使我们不仅实现了莱布尼茨让一切知识都符号化的理想，更验证了古希腊哲学家毕达哥拉斯万物皆数的哲学思想，记得某大学的哲学老师曾经讲过：现代科学知识的一个显著特征就是数学化，其目的不仅仅是为了精确描述客观世界规律，更主要的是想控制和改造世界，计算机技术正是这一结论的完美体现，基于计算机技术的AI更不可能是例外。

       自计算机发明以来，数学化就具有特定的含义，那就是将一切知识符号化，这需要将非代数的数学代数化，早期的AI符号主义流派便顺着这个历史脉络，引领AI几十年的热潮，除了催生出大量高级计算机语言，还催生出LISP和prolog等逻辑语言，这一流派倾向于知识表达和演绎推理，以此构造具有庞大知识的专家系统，但不具备机器学习能力的静态知识体系显然难以适应知识的大爆炸,很快趋于没落，很快给日本第五代计算机浇了一盆冷水，将AI打入第二次低谷

       于是在60年代被明斯基《感知器》判了死刑具备学习能力的神经网络在九十年代死灰复燃了，神经网络看似高深，实际是一个数学模型，起源早于AI概念的诞生之前的1943年，麦克洛克和皮茨为单个神经元建立了MP数学模型，后来发展成为AI的主要流派——的连接主义流派，虽然灵感来自生物学意义上的神经元，用的却都是数学方法。

       更直白的，神经网络模型和支持向量机等分析类AI算法，实质上是一组带未知参数的方程，参数未知如何求解？要反其道而行，那就是给你一堆已知方程解样本去训练参数，这就是机器学习，实际上和线性规划中的拟合是一回事，做过线性规划的都知道，散乱的样本解要归纳出精确方程的概率极低，只能拟合出近似的结果，神经网络一样，因此诞生了哈佛大学教授莱斯利·瓦利安特提出近似正确学习模型（PAC Learning）。

      无论是无监督学习的聚类算法，还是监督学习的支持向量机、BP神经网络、Hopefield神经网络、普尔兹曼机还是积卷神经网络，都可以将数据样本构建在自变量的笛卡尔多维空间上。

     当进行线性划分时，其数学上可以转换为一次多元线性回归问题，线性回归问题实质上是分析已知解在多维空间中的分布规律，更进一步，就是从中拿出一个维度作为因变量，其他的维度作为自变量，想办法找出二者之间的一个函数关系，比较恰当的刻画所有样本数据（已知解）的分布规律。

     要求解未知参数，还要用参数作为自变量构造评价函数，使得不同的参数取值下评价函数极值等价于拟合结果，因此评价函数越接近极值，说明越符合样本数据的分布规律，参数求解变成了优化问题，即评价函数在多维参数空间上的极值求解，评价函数组成的方程组形成的界面，如同崎岖不平的大地，存在多个高低不同的低洼之处，这些低洼之处叫局部极值，那个最小的极值就是机器学习训练出的最优解，目前有很多算法用于极值求解，用矩阵变换和主成分分析（PCA）提取特征值，用微积分求偏导寻找梯度下降最快路径，用遗传算法遍历搜索，用模拟退火算法避免局部极值的截留等等，都是数学方法去解决问题。

在多维参数空间中，无论是用确定的数学计算（如支持向量机的不等式求解），还是采用启发式的步步逼近的迭代算法，在给定的初值解和局部极值之间可以形成一条求解尝试路径（遗传算法、梯度下降法、决策树），这意味着机器学习的搜索特性，有些机器学习算法不一定能找到精确的极值，但按照PAC理论，只要大概率达到一定的近似度，确保基于所有的样本数据的评价函数向着局部极值收敛，以便达到目的。

因为认识上的局限性，加上经济性考虑，人类的知识获取和智能活动存在不确定性和模糊性，这是精准和确定的数学无法满足的，为此必须运用概率方法，它是AI中另一个重要数学工具，是决策树搜索路径基础，贝叶斯概率运算公式是不确定性推理的重要公式，贝叶斯网络、马尔可夫随机场和因子图等概率图模型是包括大模型在内生成式AI的重要数学基础，概率图模型是概率论和图论相结合产物。对于生成式AI来讲，如语言大模型，依据概率图搜索一个语言Token后面出现另一个概率最大的Token是生成式AI的基本机制。