人工智能 — 数学基础

一、向量

具有大小和方向的量。
$$\overrightarrow{a}=(x,y)$$

二、线性变换

线性变换通常用一个矩阵表示。

设 T 是一个从向量空间 V 到向量空间 W 的线性变换，对于 V 中的每个向量 x，存在一个矩阵 A，使得 T(x) = Ax，其中 A 是一个固定的矩阵。

• 加法保持性质

对于任意两个向量 x 和 y，线性变换 T 满足 T(x + y) = T(x) + T(y)。

• 标量乘法保持性质

对于任意标量 c 和向量 x，线性变换 T 满足 T(cx) = cT(x)。

三、矩阵

1、概念

矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列，其中包含 m 行 n 列的数学对象。
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$$

$$其中a_{ij}表示矩阵中第i行第j列的元素$$

2、加减法

矩阵的加法和减法按元素进行，即对应位置上的元素相加或相减。

两个相同维度的矩阵（两个矩阵的列数和行数一致）才能相加或相减。
$$C=A+B\Rightarrow c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$

$$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& 6\end{array}\right]，C=A+B=\left[\begin{array}{cc}3+5& 1+2\\ 2+1& 4+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8& 3\\ 3& 10\end{array}\right]$$

$$X=\left[\begin{array}{cc}7& 4\\ 3& 9\end{array}\right]，Y=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 2\end{array}\right]，Z=X-Y=\left[\begin{array}{cc}7-2& 4-1\\ 3-5& 9-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 3\\ -2& 7\end{array}\right]$$

3、乘法

矩阵的乘法不同于加法，是按行和列进行的。

如果矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则它们可以相乘。
$$C=AB\Rightarrow c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\cdot b_{kj}$$

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 1\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$$
$$C=A\times B=\left[\begin{array}{cc}2\times 5+3\times 7& 2\times 6+3\times 8\\ 4\times 5+1\times 7& 4\times 6+1\times 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}31& 34\\ 27& 28\end{array}\right]$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]，B=[\begin{array}{c}9\\ 6\\ 3\end{array}$$