最大公约数（欧几里得算法）

正整数a与b的最大公约数指的是a与b的所有公约数中最大的那个公约数，如4和6的最大公约数是2。

一般用gcd(a,b)来表示a,b的最大公约数，而求解最大公约数常用的欧几里得算法（即辗转相除法）。

 

欧几里得算法基于下面这个定理：

设a、b均为正整数，则gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。

 

如果a<b，那么定理的结构就是将a和b交换；如果a>b，那么通过这个定理总可以将数据规模变小，并且减小的非常快。这样似乎可以很快就得到结果，只要还需要一个东西：递归边界，即数据规模减小到什么程度使得可以算出结果来。很简单，总所周至：0和任意一个整数a的最大公约数都是a（注意：不是0），这个结论就可以当作递归的边界。由此很容易想到将其写为递归的形式，因为递归的两个关键已经得到：

1.递归式：gcd(a, b) = gcd(b, a%b).

2.递归边界：gcd(a, 0) = a.

于是可以得到下面的求解最大公约数的代码：

int gcd(int a, int b){
  if(b == 0) return a;
  else return gcd(b, a%b);
}

更简洁的写法是：

int gcd(int a, int b){
  return !b ? a : gcd(b, a%b);
}