16、代数结构张量与Valiant假设：理论与应用

代数结构张量与Valiant假设：理论与应用

1. 代数结构张量相关内容

• Coppersmith - Winograd张量的获取 ：通过设定特定的基元素，如在第一个和第二个因子中令 (e_0 = 1^ )，(e_i = x_i^ )，(e_{q + 1} = [x_1^2]^*)，在第三个因子中令 (e_0 = [x_1^2])，(e_i = x_i)，(e_{q + 1} = 1)，可以得到 (T_{ACW,q} = T_{CW,q}) 的表达式：
  [T_{ACW,q} = T_{CW,q} = e_0\otimes e_0\otimes e_{q + 1}+\sum_{i = 1}^{q}(e_0\otimes e_i\otimes e_i + e_i\otimes e_0\otimes e_i + e_i\otimes e_i\otimes e_0)+e_0\otimes e_{q + 1}\otimes e_0 + e_{q + 1}\otimes e_0\otimes e_0]
  这就是Coppersmith - Winograd张量。
• 结构张量的极小边界秩问题 ：提出问题，即何时 (A_I) 的结构张量具有极小边界秩。若 (T\in\mathbb{C}^m\otimes\mathbb{C}^m\otimes\mathbb{C}^m) 是代数 (A) 的结构张量，且 (A) 是 ((\mathbb{C}[x]/(x))^{\oplus m}) 的退化（其结构张量为 (M^{\oplus m}_{\langle 1\rangle})），则 (R(T)=m)。